Limiti con la parte intera
Buonasera a tutti. sono uno studente al primo anno di Matematica perso l'Università degli studi di Firenze e la prossima settimana ho il primo parziale di Analisi I
Il mio unico problema in particolare riguarda questi tipologia di esercizi sui limiti, dove compare la parte intera. Concettualmente ho capito cos'è ma quando la trovo negli esercizi sono sempre bloccato...
$ lim_(x -> 0) 1/x - [1/x] $
su questo limite il professore mi ha detto di dimostrare la non esistenza con il lim sup e lim inf ma in ogni caso non saprei come muovermi
poi ci sono questi altri:
$ lim_(x -> 0) 1/x^2 - [1/x] $
$ lim_(x -> 0) 1/x^2 [1/x -[1/x]] $
$ lim_(x -> oo) [sqrt(x^2+1)] - n $
$ lim_(x -> oo) ([sqrt(x)]!) /(n^2 logn)$
Qualcuno mi potrebbe aiutare?
Il mio unico problema in particolare riguarda questi tipologia di esercizi sui limiti, dove compare la parte intera. Concettualmente ho capito cos'è ma quando la trovo negli esercizi sono sempre bloccato...
$ lim_(x -> 0) 1/x - [1/x] $
su questo limite il professore mi ha detto di dimostrare la non esistenza con il lim sup e lim inf ma in ogni caso non saprei come muovermi
poi ci sono questi altri:
$ lim_(x -> 0) 1/x^2 - [1/x] $
$ lim_(x -> 0) 1/x^2 [1/x -[1/x]] $
$ lim_(x -> oo) [sqrt(x^2+1)] - n $
$ lim_(x -> oo) ([sqrt(x)]!) /(n^2 logn)$
Qualcuno mi potrebbe aiutare?
Risposte
Ciao! Ti do una dritta per il primo. Poi per gli altri prova, e se non riesci chiedi ancora.
C'è un teorema che ti dice che $\lim_{x\to x_0}f(x)=l$ se e solo se $\lim_{n\to +\infty}f(x_n)=l$ per ogni successione $x_n$ tendente a $x_0$.
Nel nostro caso $x_0=0$ e $f(x)=1/x-[1/x]$. Definiamo la successione $x_n=1/n$. Come puoi vedere tende a $0$ (cioè a $x_0$), e $f(x_n)=1/(1/n)-[1/(1/n)]=n-[n]=n-n=0$. Dunque se il limite esiste, questo deve essere $0$ (per il suddetto teorema). Inoltre per lo stesso teorema, tutte le successioni $x_n$ tendenti a $0$ devono essere tali che $f(x_n)\to 0$. Per dimostrare che il limite non esiste, ci basta trovare una successione che non soddisfi tale condizione. Ti suggerisco
\[
x_n=\frac{2}{2n+1}.
\]
C'è un teorema che ti dice che $\lim_{x\to x_0}f(x)=l$ se e solo se $\lim_{n\to +\infty}f(x_n)=l$ per ogni successione $x_n$ tendente a $x_0$.
Nel nostro caso $x_0=0$ e $f(x)=1/x-[1/x]$. Definiamo la successione $x_n=1/n$. Come puoi vedere tende a $0$ (cioè a $x_0$), e $f(x_n)=1/(1/n)-[1/(1/n)]=n-[n]=n-n=0$. Dunque se il limite esiste, questo deve essere $0$ (per il suddetto teorema). Inoltre per lo stesso teorema, tutte le successioni $x_n$ tendenti a $0$ devono essere tali che $f(x_n)\to 0$. Per dimostrare che il limite non esiste, ci basta trovare una successione che non soddisfi tale condizione. Ti suggerisco
\[
x_n=\frac{2}{2n+1}.
\]
Forse non sono la persona migliore per risponderti perchè non saprei consigliarti un metodo generale.
Posso però mostrarti come li risolverei io (sperando siano corretti).
1) $ lim_(x -> 0) 1/x - [1/x] $
Prendiamo la successione $(a_n)_(n>=1)=(1/n)_(n>=1) \quad$e$\quad (b_n)_(n>=1)=(1/(n+1/2))_(n>=1)$che convergono entrambe a $0$
Ora si può vedere che $ lim_(n -> +\infty) 1/a_n - [1/a_n] =0 $ e $ lim_(n -> +\infty) 1/b_n - [1/b_n] =1/2$
Allora il limite iniziale non esiste.
2)$ lim_(x -> 0) 1/x^2 - [1/x] $
Direi che chiaramente$ lim_(x -> 0) 1/x^2 - [1/x] =+\infty$
perchè $[1/x]<=1/x\quad$e$\quad \quad 1/x^2$ tende a + infinito con un ordine maggiore rispetto a $1/x$
3)$ lim_(x -> 0) 1/x^2 [1/x -[1/x]] $
Hai tutte le infomazione per rispondere, basta osservare l'esercizio (1) e (2)
Per gli ultimi due non capisco cosa sia la $n$.
Posso però mostrarti come li risolverei io (sperando siano corretti).
1) $ lim_(x -> 0) 1/x - [1/x] $
Prendiamo la successione $(a_n)_(n>=1)=(1/n)_(n>=1) \quad$e$\quad (b_n)_(n>=1)=(1/(n+1/2))_(n>=1)$che convergono entrambe a $0$
Ora si può vedere che $ lim_(n -> +\infty) 1/a_n - [1/a_n] =0 $ e $ lim_(n -> +\infty) 1/b_n - [1/b_n] =1/2$
Allora il limite iniziale non esiste.
2)$ lim_(x -> 0) 1/x^2 - [1/x] $
Direi che chiaramente$ lim_(x -> 0) 1/x^2 - [1/x] =+\infty$
perchè $[1/x]<=1/x\quad$e$\quad \quad 1/x^2$ tende a + infinito con un ordine maggiore rispetto a $1/x$
3)$ lim_(x -> 0) 1/x^2 [1/x -[1/x]] $
Hai tutte le infomazione per rispondere, basta osservare l'esercizio (1) e (2)
Per gli ultimi due non capisco cosa sia la $n$.
$ lim_(n -> oo) [sqrt(n^2+1)] - n $
$ lim_(n -> oo) ([sqrt(n)]!) /(n^2 logn)$
oddio gli ultimi limiti sono questi, ho sbagliato a scriverli scusate!
Comunque nel primo limite che ho postato, se devo seguire le direttive del professore che mi ha detto di dimostrare la non esistenza calcolando il lim sup e il lim inf come dovrei procedere?
Per il limite superiore dovrei dimostrare che:
1)$ an <= L + xi $ definitivamente
2)$ an >= L - xi $ frequentemente
$ lim_(n -> oo) ([sqrt(n)]!) /(n^2 logn)$
oddio gli ultimi limiti sono questi, ho sbagliato a scriverli scusate!
Comunque nel primo limite che ho postato, se devo seguire le direttive del professore che mi ha detto di dimostrare la non esistenza calcolando il lim sup e il lim inf come dovrei procedere?
Per il limite superiore dovrei dimostrare che:
1)$ an <= L + xi $ definitivamente
2)$ an >= L - xi $ frequentemente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo