Limiti con De L'Hospital
Ciao a tutti, mi sto preparando per l'esame di Analisi 1. Sto rivedendo l'applicazione di De L'Hospital per il calcolo dei limiti, ma mi sono accorto di avere qualche dubbio. Questo è il primo esercizio dell'eserciziario, e con De L'Hospital si risolve molto semplicemente. Ma la mia domanda è un altra, perché se lo risolvo usando le stime asintotiche non esce?
Calcola il limite di $ (x*cos(x)-sin(x))/(x*sin^2(x)) $ per $ x->0 $
So che $ sin(x) $ è asintotico a $ x $ per $ x-> 0 $ quindi ottengo che l'espressione è asintotica a $ (x*cos(x)-x)/(x^3) $, semplifico $ (cos(x)-1)/(x^2) $.
Applico l'asintotico di $ cos(x) -1 $ e ottengo $ -1/2*x^2/x^2 $. Semplificando riusulta che il limite è $ -1/2 $ invece che $ -1/3 $
Il nostro professore ci ha spiegato che non si può fare, ma non ho capito il perchè.
Calcola il limite di $ (x*cos(x)-sin(x))/(x*sin^2(x)) $ per $ x->0 $
So che $ sin(x) $ è asintotico a $ x $ per $ x-> 0 $ quindi ottengo che l'espressione è asintotica a $ (x*cos(x)-x)/(x^3) $, semplifico $ (cos(x)-1)/(x^2) $.
Applico l'asintotico di $ cos(x) -1 $ e ottengo $ -1/2*x^2/x^2 $. Semplificando riusulta che il limite è $ -1/2 $ invece che $ -1/3 $
Il nostro professore ci ha spiegato che non si può fare, ma non ho capito il perchè.
Risposte
il seno di sopra lo devi sviluppare fino a $(x^3)/6$
Poiché al denominatore hai $x^3$ , anche al numeratore devi arrivare a sviluppi fino al terzo ordine , quindi $sinx $ è asintotico a $x-x^3/6$, non puoi troncarlo a $x $.
Ok ho capito. Ma allora facendo questo errore praticamente alla fine mi rimane un opiccolo che mi rende insignificativo il risultato, corretto? Come faccio a non incappare in questo errore senza fare sempre il calcolo degli opiccoli?
La ragione principale per cui non puoi usare "barbaramente" la stima asintotica di \(\displaystyle sin(x) \) è che quando stai valutando un limite devi innanzitutto trovare la parte principale dell'infinitesimo. Devi dare una stima al terzo ordine perché il numeratore si annulla del primo e del secondo ordine, ma non del terzo. Quindi il termine di terzo grado è il primo termine significativo. Se pensi agli sviluppi di MacLaurin delle funzioni è semplice.
\(\displaystyle cos(x) = 1 - (x^2)/2 + o(x^2) \)
\(\displaystyle sin(x) = x - (x^3)/6 + o(x^3) \)
In realtà non c'è un modo più semplice per spiegarlo, per convincertene puoi verificare con la definizione di asintotico che quello che stai facendo non è un'operazione lecita (è molto semplice, basta che ti scrivi le definizioni e lo puoi fare come esercizio, altrimenti posso farlo io)...
Sto preparando anche io l'esame di Analisi I quindi forza e coraggio
\(\displaystyle cos(x) = 1 - (x^2)/2 + o(x^2) \)
\(\displaystyle sin(x) = x - (x^3)/6 + o(x^3) \)
In realtà non c'è un modo più semplice per spiegarlo, per convincertene puoi verificare con la definizione di asintotico che quello che stai facendo non è un'operazione lecita (è molto semplice, basta che ti scrivi le definizioni e lo puoi fare come esercizio, altrimenti posso farlo io)...
Sto preparando anche io l'esame di Analisi I quindi forza e coraggio
Fantastico! Ora ho capito qualcosa in più. Quindi io se mi trovo davanti ad un limite del tipo $ f(x)/g(x) $ prima di applicare De L'Hospital posso, ad esempio, fare lo sviluppo del denominatore ( sempre ad un ordine che non annulli il significato ) per rendere la derivata più facile da calcolare?
Poi ho un altra domanda, sempre prendendo in considerazione il limite iniziale, come mi accorgo io di aver commesso un errore? Cioè utilizzando i soliti limiti notevoli, come faccio a capire se sto commettendo un errore o no? Devo sempre sviluppare tutto il numeratore/denominatore e vedere a che ordine si annullano?
Poi ho un altra domanda, sempre prendendo in considerazione il limite iniziale, come mi accorgo io di aver commesso un errore? Cioè utilizzando i soliti limiti notevoli, come faccio a capire se sto commettendo un errore o no? Devo sempre sviluppare tutto il numeratore/denominatore e vedere a che ordine si annullano?
Non ho capito tanto bene la seconda domanda, proverò a rispondere: i limiti notevoli, ti sarai già accorto, possono essere ottenuti facilmente usando gli sviluppi di Mac Laurin. Prendiamo ad esempio il limite notevole del coseno:
per \(\displaystyle x → 0 \) \(\displaystyle (1-cos(x))/x^2 → 1/2 \)
D'altra parte
\(\displaystyle cos(x) = 1 - (x^2)/2 + o(x^2) \)
E come salta subito all'occhio, sostituendo lo sviluppo nell'espressione iniziale, otteniamo il risultato sperato.
Quindi, generalmente, quando stai facendo il limite di un infinitesimo, la tua prima preoccupazione deve essere quella di cercare la sua "parte principale" ovvero il monomio di grado minore che "approssima meglio" la funzione. Devi sempre saper dire in buona sostanza "come" la tua funzione tende a zero (sperando di essere chiaro).
per \(\displaystyle x → 0 \) \(\displaystyle (1-cos(x))/x^2 → 1/2 \)
D'altra parte
\(\displaystyle cos(x) = 1 - (x^2)/2 + o(x^2) \)
E come salta subito all'occhio, sostituendo lo sviluppo nell'espressione iniziale, otteniamo il risultato sperato.
Quindi, generalmente, quando stai facendo il limite di un infinitesimo, la tua prima preoccupazione deve essere quella di cercare la sua "parte principale" ovvero il monomio di grado minore che "approssima meglio" la funzione. Devi sempre saper dire in buona sostanza "come" la tua funzione tende a zero (sperando di essere chiaro).
Ahhhhhhhh Ok forse ho capito. L'errore sta nel fatto che quando faccio la stima, semplifico la x che nel mio caso è la parte principale corretto?
(Se posso saperlo, dove fai l'università? )
(Se posso saperlo, dove fai l'università? )
La parte principale del numeratore è \(\displaystyle x^3/6 \) ovvero il primo termine non nullo. Se non la consideri perdi informazione, cioè sai che la funzione è infinitesima ma non sai stabilire come tende a zero, e dal momento che devi valutare quale dei due infinitesimi (numeratore e denominatore) va "più velocemente" a zero è un bel problema... Scusa il linguaggio barbaro 
Vado al Poli di Milano da settembre
Vado al Poli di Milano da settembre
Ok capisco cosa intendi, ma non sono ancora sicuro del procedimento... Cioè l'eserciziario per risolverlo fa una stima asintotica del denominatore, poi a tutto applica De L'Hospital. Non sta a sviluppare nulla, quindi come fa a sapere che non ha annullato qualche parte principale? Ora forse ho capito qual'è il mio problema. Applicando i limiti notevoli, senza fare sviluppi, come posso capire se sto perdendo qualcosa? Come mi hai spiegato te ho capito perfettamente come farlo facendo lo sviluppo, ma all'esame non posso mettermi a sviluppare tutto... Ma che facoltà fai? Io pure sono al Poli!! Faccio Ingegneria Elettronica
"otto9407":
\(\displaystyle cos(x) = 1 - (x^2)/2 + o(x^2) \)
\(\displaystyle sin(x) = x - (x^3)/6 + o(x^3) \)
Dal momento che l'o-piccolo è di fondamentale importanza..
$ sin(x) = ... + o(x^(2n+2)) $
$ cos(x) = ... + o(x^(2n+1)) $
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