Limiti con de l'hopital

[jrq]

salve a tutti..sto studiando da poco le derivate ed ho un piccolo dubbio..se devo usare il teorema de l'hopital x il calcolo del limite con una frazione ,devo derivare prima numeratore e denominatore o devo derivare tutto insieme?
es:\(\displaystyle lim (x-1)log(x-1) \)
per x che tende a 1+
forma indeteminata :0 *infinito
quindi la riscrivo meglio:
\(\displaystyle log(x-1)/1/x-1 \)
forma indeterminata infinito su infinito----->uso hopital e qui arriva il bello.
Derivo prima il numeratore:\(\displaystyle log(1-x) \)=\(\displaystyle- 1/1-x \).
Poi derivo il denominatore:\(\displaystyle (x-1)^-1 \)=\(\displaystyle -(x-1)^-2 \)=\(\displaystyle -1/(x-1)^2 \).
quindi il risultato del limite dopo le varie semplificazioni è:\(\displaystyle (x-1)=0 \)
oppure devo derivare tutta la frazione con la formula del quizinete delle derivate:\(\displaystyle y'= f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)/
[g(x)]^2 \)?

[anto_zoolander]

Derivare numeratore e denominatore distintamente

[pilloeffe]

Ciao ely92,

Il limite proposto è il seguente:

$ lim_{x \to 1^+} (x - 1) log(x - 1) $

Ferma restando la correttezza del suggerimento che ti ha già dato anto_zoolander, per semplificarti la vita puoi porre $t := x - 1 $, in modo da aversi

$ lim_{x \to 1^+} (x - 1) log(x - 1) = lim_{t \to 0^+} t log t = lim_{t \to 0^+} frac{log t}{t^{-1}} \overset{H}{=} lim_{t \to 0^+} frac{t^{-1}}{-t^{-2}} = 0 $