Limiti con cambio di variabile (uso th funzioni composte): perchè questo procedimento è sbagliato?

[marione111]

Salve, ho un esercizio svolto, che ho provato a fare prima di guardare lo svolgimento, mi sembra di non aver fatto errori di calcolo, eppure mi trovo un risultato errato. Penso proprio di aver fatto un errore diciamo "teorico", ma non riesco a venirne a capo. Questo è il mio svolgimento:


$lim_(x->0)$ $(log(1+sin^2 x))/(arctan x^2) =$

$= lim_(x->0)$ $ ((log(1+sin^2 x))/(sin^2 x) sin^2 x) ((arctan x^2)/(x^2) x^2)^-1 =$

$= lim_(x->0)$ $ ((log(1+sin^2 x))/(sin^2 x) sin^2 x) *$ $ lim_(x->0) $ $ ((arctan x^2)/(x^2) x^2)^-1 =$

$= limy->0)$ $ ((log(1+y))/(y) y) *$ $lim_(t->0)$ $((arctan t)/(t) t)^-1 =$

$= 1 * 0 * 1 * 0 = 0$

Il procedimento esatto:

$= lim_(x->0)$ $ (log(1+sin^2 x))/(sin^2 x) (sin^2 x)/(x^2) ((arctan x^2)/(x^2))^-1 = 1 * 1 * 1 = 1$

[ciampax]

Anche il procedimento "esatto" è errato, visto che fai apparire un $x^2$ di troppo. Invece di usare quell'elevamento a $-1$ che secondo me ti confonde, scrivi semplicemente così
$$\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin^2 x)}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin^2 x}{x^2}\cdot\frac{\arctan x^2}{x^2}=1\cdot 1\cdot 1=1$$
Il problema che ha ne cambio di variabile è che tu pensi al tutto come se fossero due limiti diversi, con variabili indipendenti: ma se poni $y=\sin^2 x$, allora $x=\arcsin\sqrt{y}$ e non è lecito poi pensare a $x^2=t$, non ti pare?

[marione111]

"ciampax":Anche il procedimento "esatto" è errato, visto che fai apparire un $x^2$ di troppo.

Pardon, il procedimento è giusto, era un errore di battitura.

"ciampax":Invece di usare quell'elevamento a $-1$ che secondo me ti confonde, scrivi semplicemente così
$$\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin^2 x)}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin^2 x}{x^2}\cdot\frac{\arctan x^2}{x^2}=1\cdot 1\cdot 1=1$$
Il problema che ha ne cambio di variabile è che tu pensi al tutto come se fossero due limiti diversi, con variabili indipendenti: ma se poni $y=\sin^2 x$, allora $x=\arcsin\sqrt{y}$ e non è lecito poi pensare a $x^2=t$, non ti pare?

Si, sapevo fosse lì l'errore, ma nel momento in cui applico il teorema del prodotto ho $lim_(x->x_0)$ $f(x) * g(x) =$ $lim_(x->x_0)$ $f(x) *$ $lim_(x->x_0)$ $g(x)$

A questo punto per me i limiti sono distinti e separati e penso sia lecito usare due variabili diverse... o meglio, so per certo che non li posso considerare separatamente 1) perché altrimenti mi trovo un risultato errato e 2) perché me lo ha detto lei. Ma non so comunque giustificarlo! Nel momento in cui ho fatto in quel modo (sbagliato) mi sono chiesto in effetti se si potesse fare, ma non mi sono riuscito a dare una risposta sul "perché non posso farlo?". Purtroppo non riesco a capire perché non è lecito pensarli separatamente nel momento in cui li calcolo come prodotto di due limiti. Probabilmente dal suo punto di vista sembra una stupidaggine ma c'è qualcosa che non riesco ad afferrare.

[ciampax]

In realtà i limiti non sono distinti e separati: la variabile è una sola e il suo comportamento (al limite) è univoco. La posizione che fai, invece, implica riscrivere il comportamento della variabile, in generale, in due forme distinte o, in termine più preciso, con ordini di infinitesimo differenti che portano a ovvi errori.

E no,non è una stupidaggine (tutt'altro: diciamo che il punto cruciale di tutta l'analisi) e il fatto che tu ti ponga un tale quesito è un bene.