Limiti: alcune cose poco chiare
Scusate, sto facendo i limiti e mi sono ritrovato a dover risolvere un vero o falso. Le risposte le ho date tutte correttamente, ma nell'esercizio mi si chiedeva di motivare in modo appropriato. Purtroppo questo non sono stato in grado di farlo.
Posso rispondere correttamente quanto voglio, ma se poi non so motivare le mie risposte è tutto inutile.
La verità è che non mi sono ben chiari questi esercizi e neanche le definizioni che stanno dietro di essi. Se qualcuno potesse spiegarmi questi esercizi, le definizioni che vi stanno dietro e le diciture gliene sarei grato.
Si tratta di esercizi ormai già consegnati, ma vorrei capirli altrimenti porterò avanti delle lacune.
L'esercizio è il seguente:
Si dica, per ciascuna affermazione, se è vera o falsa motivando la risposta.
A) $sin x ~ x per x->0$;
B) $(x+1)^x ~x^x per x-> +∞ $;
C) $log(1+x) ~ log2 per x->1$;
D) $(x^3-3x^5) ~ -3x^5 per x->0 $;
E) $x+logx) ~ x per x -> +∞$;
F) $log(1+x) = x + o(x) per x -> +∞$;
G) $ x^5=o(x) per x -> 0 $;
H) $ x^5 = o(x^2) per x->0 $;
I) $e^(x-1) = x-1 + o(x) per x ->1$
Questi sono gli esercizi.
Per esempio, la A è vera. La motivazione che si voleva era: poiché $ sinx/x $ per x-> 0 allora per definizione sinx è asintotico a x per x->0.
Posso rispondere correttamente quanto voglio, ma se poi non so motivare le mie risposte è tutto inutile.
La verità è che non mi sono ben chiari questi esercizi e neanche le definizioni che stanno dietro di essi. Se qualcuno potesse spiegarmi questi esercizi, le definizioni che vi stanno dietro e le diciture gliene sarei grato.
Si tratta di esercizi ormai già consegnati, ma vorrei capirli altrimenti porterò avanti delle lacune.
L'esercizio è il seguente:
Si dica, per ciascuna affermazione, se è vera o falsa motivando la risposta.
A) $sin x ~ x per x->0$;
B) $(x+1)^x ~x^x per x-> +∞ $;
C) $log(1+x) ~ log2 per x->1$;
D) $(x^3-3x^5) ~ -3x^5 per x->0 $;
E) $x+logx) ~ x per x -> +∞$;
F) $log(1+x) = x + o(x) per x -> +∞$;
G) $ x^5=o(x) per x -> 0 $;
H) $ x^5 = o(x^2) per x->0 $;
I) $e^(x-1) = x-1 + o(x) per x ->1$
Questi sono gli esercizi.
Per esempio, la A è vera. La motivazione che si voleva era: poiché $ sinx/x $ per x-> 0 allora per definizione sinx è asintotico a x per x->0.
Risposte
È solo questione di definizione. Come hai fatto a rispondere bene se non sai cosa significano quei simboli? Rivediti la definizione di o-piccolo e di equivalenza locale.
L'ho fatto... e credevo di aver capito. Invece mi sono accorto di non aver capito niente grazie ad un mio amico che però non ha intenzione di spiegarmi perché si altera quando qualcuno non sa fare certe cose.
Avrò riguardato le definizioni mille volte. Più le guardo e più vado in confusione. Per questo ho chiesto se qualcuno mi può dare motivazioni validi con tanto di definizioni a questi esercizi e nel mentre spiegarmi perché le cose stanno così. Non ho nessun'altro a cui chiedere a parte quel mio amico e da solo mi sto solo confondendo sempre di più.
Avrò riguardato le definizioni mille volte. Più le guardo e più vado in confusione. Per questo ho chiesto se qualcuno mi può dare motivazioni validi con tanto di definizioni a questi esercizi e nel mentre spiegarmi perché le cose stanno così. Non ho nessun'altro a cui chiedere a parte quel mio amico e da solo mi sto solo confondendo sempre di più.
Si dice che f(x) è o-piccolo di g(x) per $x->x_0$ e si scrive $f(x)=o(g(x))$ se risulta: $lim_(x->x_0) f(x)/g(x)=0$
Si dice che $f(x)$ è "localmente equivalente" a $g(x)$ per $x->x_0$ e si scrive $f(x)~g(x)$ oppure $f(x)=g(x)+o(g(x))$ se risulta:
$lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=1$
Ora prendi tutti quei casi e vedi se verificano la definizione.
Si dice che $f(x)$ è "localmente equivalente" a $g(x)$ per $x->x_0$ e si scrive $f(x)~g(x)$ oppure $f(x)=g(x)+o(g(x))$ se risulta:
$lim_(x->x_0)f(x)/g(x)=1$
Ora prendi tutti quei casi e vedi se verificano la definizione.
B) $(x+1)^x ~x^x$ per x $→+∞$;
E' falsa.
Io ho motivato dicendo che il limite per x che tende a xo di $((x+1)^x)/x^x$è diverso da 1. Mi ha detto di no, che non va bene.
E' falsa.
Io ho motivato dicendo che il limite per x che tende a xo di $((x+1)^x)/x^x$è diverso da 1. Mi ha detto di no, che non va bene.
Ma chi ti ha detto che non va bene? Quel tuo amico? Digli da parte mia che non ci ha capito nulla...
Guardate che effettivamente $(1+x)^x $ non e ' asintotico ad $x^x $, in quanto $lim_(x->infty)(1+x)^x/x^x $ $=lim_(x->infty)((1+x)/x)^x $ $=lim_(x->infty)(1/x+1)^x=e $ che chiaramente e' diverso d a $1$, pertanto I due termini non sono asintotici.
@francicko, Infatti è quello che si sta dicendo.
Ma forse lo voleva detto diversamente...
Allora poi gli ho detto che il limite è uguale ad infinito e non ad uno. Mi ha detto "Ma stai scherzando? Usa le definizioni. Quando saprai cosa rispondermi scrivimi altrimenti no". Ma sinceramente io non ne ho più idea. Sono in crash totale.
Allora poi gli ho detto che il limite è uguale ad infinito e non ad uno. Mi ha detto "Ma stai scherzando? Usa le definizioni. Quando saprai cosa rispondermi scrivimi altrimenti no". Ma sinceramente io non ne ho più idea. Sono in crash totale.
Quella affermazione è falsa perché il limite non fa 1, come ha scritto francicko, e da definizione le due funzioni non sono equivalenti in +oo. Comunnque mi sembra che tu abbia qualche difficoltà nel fare i limiti. Quel limite non fa +oo.
Lo so. Ho detto così perché ero andato nel pallone totale. Che ho problemi a fare i limiti lo so, ma se mentre cerco di capire invece di dirmi dove sbagli mi si insulta credo sia normale andare ancora più in confusione e uscirsene con cose a caso. Ero arrivato al punto che non avevo più idea di cosa stavo scrivendo.
Per questo ho chiesto a voi. Perché sono in confusione totale al momento e ho paura di sbagliare e dire sciocchezze. Quindi preferivo mi si spiegassero quei limiti e il perché sono veri o falsi.
Per questo ho chiesto a voi. Perché sono in confusione totale al momento e ho paura di sbagliare e dire sciocchezze. Quindi preferivo mi si spiegassero quei limiti e il perché sono veri o falsi.
Per favore, mi potete dire come vanno motivati, tramite definizione, e spiegarmi il perché dal punto C al punto I? Il mio amico continua a dirmi che quello che dico non va bene. Non ci sto capendo più niente... e se non lo risolvo non posso andare avanti.
Ti ho già spiegato le definizioni e come motivare le risposte, però non ti posso spiegare come risolvere i limiti, quello va studiato per bene e non si può insegnare nelle poche righe di un messaggio di un forum.
No no, non dicevo questo. I limiti li so fare, ma non riesco a motivare nel modo giusto quei vero/falso. Continua a dire che non va bene ciò che dico. Solo l'A e il B ha detto che erano corretti. Questo chiedevo... se qualcuno mi poteva far vedere la motivazione giusta ai V/F dal punto C in poi perché io non so più cosa dire.
C) $log(1+x)~log2$ per $x->1$
Vero dato che: $lim_(x->1)log(1+x)/log2=log2/log2=1$
Per gli altri continua tu
Vero dato che: $lim_(x->1)log(1+x)/log2=log2/log2=1$
Per gli altri continua tu
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