[Limiti]: Aiuto con esercizi vari

IlMatematico91
Scusate, io sono un semplice letterato e non dovrei neanche stare qui ad aprire certe discussioni, ma per me la matematica è una passione senza eguali e sebbene io abbia dovuto di intraprendere un'altra strada non mi va di abbandonarla.
Sto cercando, quindi, di imparare cose nuove da solo, ma non è semplicissimo.
Mi sono imbattuto in una serie di esercizi che faccio fatica a risolvere.
Se qualcuno ha la pazienza di aiutarmi nella risoluzione e spiegarmeli... Gliene sarei eternamente grato.


Risposte
dan952
Se fai fatica a risolverli comincia da qualcosa di più leggero, per esempio dimostra con la definizione che $\lim_{x \rightarrow 0} e^x=1$

IlMatematico91
Sì sì, ma ho cominciato con quello e ora vorrei provare con cose più complicate. Volevo riuscire a capire questi esercizi. Ci sono sopra da ore. Purtroppo sono così, finché non li avrò capiti non riuscirò a fare altro.
Mi interessa capire questi esercizi... :(
Se qualcuno potesse spiegarmeli gliene sarei grato. Mi farebbe un mega favore.

Bremen000
A me ad esempio il primissimo non mi sembra di facile verifica, ma magari è l'orario...

Camillo
Ecco due esercizi svolti di verifica di un limite tramite la definizione :

A) Utilizzando la definizione di limite verificare che : $lim_(x rarr+oo )(x-2sqrt(x)) = +oo$.
Premetto la definizione di limite applicabile in questo caso :
$lim_(x rarr +oo ) f(x) =+oo $ significa $ AA M >0, EE k > 0 ,:f(x) >M $ con $ x> k $ .
Svolgimento : Fissato $ M >0 $ si risolve la disequazione $x-2sqrt(x) >M $; pongo $ t=sqrt(x) $ e ottengo la disequazione di secondo grado $t^2-2t-M > 0 $ che ha come soluzioni :
$t < 1 -sqrt(1+M) $ , essendo un valore negativo lo scarto , ricordo che $x rarr +oo $
e
$t>1+sqrt(1+M) $.
Quindi se : $x=t^2 > k =(1+sqrt(1+M))^2 $ risulta $x-2sqrt(x) >M $ che è quanto si voleva verificare.

Camillo
B) Utilizzando la definizione di limite verificare che : $lim_(x rarr 0 )1/x^2 =+oo $
Premetto la definizione di limite applicabile in questo caso :
$lim_(x rarr x_0 ) f(x) = +oo $ significa che : $ AA M >0 , EE delta > 0 : f(x) > M $ con $ 0<|x-x_0 |
Svolgimento :
$1/x^2 > M $ se $|x| <1/sqrt(M) $ . la definizione di limite è soddisfatta scegliendo $delta =1/sqrt(M) $

IlMatematico91
Qualcun'altro che può aiutarmi con quegli esercizi?

IlMatematico91
Altri che ne sanno di più e possono aiutarmi nella risoluzione di tali esercizi? :(

IlMatematico91
Altri che ne sanno di più e possono aiutarmi nella risoluzione di tali esercizi? :(

IlMatematico91
Altri che ne sanno di più e possono aiutarmi nella risoluzione di tali esercizi? :(

@melia
Credo che tu sia in grado di calcolare, tramite definizione, che $lim_(x->0) log|x| = -oo$ da cui puoi dedurre immediatamente che anche $lim_(x->0) (log|x|)/2 = -oo$ e $lim_(x->0) 2*log|x| = -oo$, a questo punto entra in gioco il teorema dei due carabinieri, altrimenti detto del confronto.

Per applicare il teorema devi distinguere i due casi:

per $x>0$ cioè per $x->0^+$ vale $(log|x|)/2<(log|x|)/(2x+1)< log|x|$, il limite che vuoi calcolare è quello di una funzione compresa tra due che tendono entrambe a $-oo$, quindi per il teorema tende a $-oo$ anch'esso.

per $x<0$ cioè per $x->0^-$ vale $log|x|<(log|x|)/(2x+1)< 2*log|x|$, il limite che vuoi calcolare è quello di una funzione compresa tra due che tendono entrambe a $-oo$, quindi per il teorema tende a $-oo$ anch'esso.

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