[Limiti]: Aiuto con esercizi vari
Scusate, io sono un semplice letterato e non dovrei neanche stare qui ad aprire certe discussioni, ma per me la matematica è una passione senza eguali e sebbene io abbia dovuto di intraprendere un'altra strada non mi va di abbandonarla.
Sto cercando, quindi, di imparare cose nuove da solo, ma non è semplicissimo.
Mi sono imbattuto in una serie di esercizi che faccio fatica a risolvere.
Se qualcuno ha la pazienza di aiutarmi nella risoluzione e spiegarmeli... Gliene sarei eternamente grato.
Sto cercando, quindi, di imparare cose nuove da solo, ma non è semplicissimo.
Mi sono imbattuto in una serie di esercizi che faccio fatica a risolvere.
Se qualcuno ha la pazienza di aiutarmi nella risoluzione e spiegarmeli... Gliene sarei eternamente grato.

Risposte
Se fai fatica a risolverli comincia da qualcosa di più leggero, per esempio dimostra con la definizione che $\lim_{x \rightarrow 0} e^x=1$
Sì sì, ma ho cominciato con quello e ora vorrei provare con cose più complicate. Volevo riuscire a capire questi esercizi. Ci sono sopra da ore. Purtroppo sono così, finché non li avrò capiti non riuscirò a fare altro.
Mi interessa capire questi esercizi...
Se qualcuno potesse spiegarmeli gliene sarei grato. Mi farebbe un mega favore.
Mi interessa capire questi esercizi...

Se qualcuno potesse spiegarmeli gliene sarei grato. Mi farebbe un mega favore.
A me ad esempio il primissimo non mi sembra di facile verifica, ma magari è l'orario...
Ecco due esercizi svolti di verifica di un limite tramite la definizione :
A) Utilizzando la definizione di limite verificare che : $lim_(x rarr+oo )(x-2sqrt(x)) = +oo$.
Premetto la definizione di limite applicabile in questo caso :
$lim_(x rarr +oo ) f(x) =+oo $ significa $ AA M >0, EE k > 0 ,:f(x) >M $ con $ x> k $ .
Svolgimento : Fissato $ M >0 $ si risolve la disequazione $x-2sqrt(x) >M $; pongo $ t=sqrt(x) $ e ottengo la disequazione di secondo grado $t^2-2t-M > 0 $ che ha come soluzioni :
$t < 1 -sqrt(1+M) $ , essendo un valore negativo lo scarto , ricordo che $x rarr +oo $
e
$t>1+sqrt(1+M) $.
Quindi se : $x=t^2 > k =(1+sqrt(1+M))^2 $ risulta $x-2sqrt(x) >M $ che è quanto si voleva verificare.
A) Utilizzando la definizione di limite verificare che : $lim_(x rarr+oo )(x-2sqrt(x)) = +oo$.
Premetto la definizione di limite applicabile in questo caso :
$lim_(x rarr +oo ) f(x) =+oo $ significa $ AA M >0, EE k > 0 ,:f(x) >M $ con $ x> k $ .
Svolgimento : Fissato $ M >0 $ si risolve la disequazione $x-2sqrt(x) >M $; pongo $ t=sqrt(x) $ e ottengo la disequazione di secondo grado $t^2-2t-M > 0 $ che ha come soluzioni :
$t < 1 -sqrt(1+M) $ , essendo un valore negativo lo scarto , ricordo che $x rarr +oo $
e
$t>1+sqrt(1+M) $.
Quindi se : $x=t^2 > k =(1+sqrt(1+M))^2 $ risulta $x-2sqrt(x) >M $ che è quanto si voleva verificare.
B) Utilizzando la definizione di limite verificare che : $lim_(x rarr 0 )1/x^2 =+oo $
Premetto la definizione di limite applicabile in questo caso :
$lim_(x rarr x_0 ) f(x) = +oo $ significa che : $ AA M >0 , EE delta > 0 : f(x) > M $ con $ 0<|x-x_0 |
Svolgimento :
$1/x^2 > M $ se $|x| <1/sqrt(M) $ . la definizione di limite è soddisfatta scegliendo $delta =1/sqrt(M) $
Premetto la definizione di limite applicabile in questo caso :
$lim_(x rarr x_0 ) f(x) = +oo $ significa che : $ AA M >0 , EE delta > 0 : f(x) > M $ con $ 0<|x-x_0 |
Svolgimento :
$1/x^2 > M $ se $|x| <1/sqrt(M) $ . la definizione di limite è soddisfatta scegliendo $delta =1/sqrt(M) $
Qualcun'altro che può aiutarmi con quegli esercizi?
Altri che ne sanno di più e possono aiutarmi nella risoluzione di tali esercizi?

Altri che ne sanno di più e possono aiutarmi nella risoluzione di tali esercizi?

Altri che ne sanno di più e possono aiutarmi nella risoluzione di tali esercizi?

Credo che tu sia in grado di calcolare, tramite definizione, che $lim_(x->0) log|x| = -oo$ da cui puoi dedurre immediatamente che anche $lim_(x->0) (log|x|)/2 = -oo$ e $lim_(x->0) 2*log|x| = -oo$, a questo punto entra in gioco il teorema dei due carabinieri, altrimenti detto del confronto.
Per applicare il teorema devi distinguere i due casi:
per $x>0$ cioè per $x->0^+$ vale $(log|x|)/2<(log|x|)/(2x+1)< log|x|$, il limite che vuoi calcolare è quello di una funzione compresa tra due che tendono entrambe a $-oo$, quindi per il teorema tende a $-oo$ anch'esso.
per $x<0$ cioè per $x->0^-$ vale $log|x|<(log|x|)/(2x+1)< 2*log|x|$, il limite che vuoi calcolare è quello di una funzione compresa tra due che tendono entrambe a $-oo$, quindi per il teorema tende a $-oo$ anch'esso.
Per applicare il teorema devi distinguere i due casi:
per $x>0$ cioè per $x->0^+$ vale $(log|x|)/2<(log|x|)/(2x+1)< log|x|$, il limite che vuoi calcolare è quello di una funzione compresa tra due che tendono entrambe a $-oo$, quindi per il teorema tende a $-oo$ anch'esso.
per $x<0$ cioè per $x->0^-$ vale $log|x|<(log|x|)/(2x+1)< 2*log|x|$, il limite che vuoi calcolare è quello di una funzione compresa tra due che tendono entrambe a $-oo$, quindi per il teorema tende a $-oo$ anch'esso.