Limiti a due variabili in coordinate polari

[Antimius]

Stavo vedendo delle dispense e a un certo punto c'è questa proposizione.

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(rcos\theta, rsin\theta) = L in RR$
se e solo se valgono le seguenti condizioni:

(i) per ogni $\theta in [0,2\pi]$, esiste il limite, indipendente da $\theta$, $\lim_{rto0^+} f(rcos\theta,rsin\theta)=L$;

(ii) tale limite è uniforme rispetto a $\theta$, cioè $AA\epsilon>0$ $EE\rho>0$ tale che $|f(rcos\theta,rsin\theta)-L|<\epsilon$, $AArin(0,\rho)$ e $AA\thetain[0,2\pi]$.

Non capisco: a me la (i) e la (ii) sembrano equivalenti Perché la (ii) è esattamente la definizione del limite nella (i). E il fatto che valga per ogni $\theta$ mi garantisce l'indipendenza da esso. O mi sfugge qualcosa? Tipo la differenza tra uniformità e indipendenza?

[Rigel1]

Considera la funzione
[tex]f(x,y) =
\begin{cases}
1, &\text{se}\ y=x^2, x\neq 0,\\
0, &\text{viceversa}.
\end{cases}[/tex]
Questa funzione soddisfa (i) ma non (ii).

[Antimius]

Aah, hai ragione. Grazie!! Praticamente il fatto è che non basta che la funzione vada a $0$ lungo le rette passanti per l'origine, ma deve andarci anche lungo altre curve, no? E questo è garantito dalla seconda condizione.