Limiti a due variabili con "maggiorazioni"
Sto iniziandoa svolgere dei limiti in due variabili ma inutile dire che non mi è chiarissima la procedura.
ad esempio
$lim_((x,y)->(0,0)) x^4/(x^2+y^2)$ provare che sia "0"
ho pensato:
$lim_((x,y)->(0,0)) |x^4/(x^2+y^2)|=x^4/(x^2+y^2)<=x^4/x^2=x^2<=x^2+y^2=0$ il limite vale zero!
Però la professoressa si ritrova alla fine sempre con funzioni del tipo $[...]<=|x|=\sqrt(x^2)<=\sqrt(x^2+y^2)=0$ e dice se (x,y)->(0,0) per il criterio di confrontabilità il limite vale zero.
Secondo voi la metodologia da me usata sopra è giusta?
Vi ringrazio
ad esempio
$lim_((x,y)->(0,0)) x^4/(x^2+y^2)$ provare che sia "0"
ho pensato:
$lim_((x,y)->(0,0)) |x^4/(x^2+y^2)|=x^4/(x^2+y^2)<=x^4/x^2=x^2<=x^2+y^2=0$ il limite vale zero!
Però la professoressa si ritrova alla fine sempre con funzioni del tipo $[...]<=|x|=\sqrt(x^2)<=\sqrt(x^2+y^2)=0$ e dice se (x,y)->(0,0) per il criterio di confrontabilità il limite vale zero.
Secondo voi la metodologia da me usata sopra è giusta?
Vi ringrazio
Risposte
Ciao sampe,
Il limite proposto sembra "confezionato" appositamente per fare uso delle coordinate polari...
Si ha:
$lim_{(x,y) \to (0,0)} frac{x^4}{x^2 + y^2} = 0 $
Infatti, passando in coordinate polari, si ha:
$ frac{x^4}{x^2 + y^2} = \rho^2 cos^4\theta $
E quindi si può scrivere la maggiorazione
$|frac{x^4}{x^2 + y^2} |= |\rho^2 cos^4\theta | \le \rho^2 $
E dato che $0 \le |f(x,y)| \le \rho^2 $, la funzione è arbitrariamente vicina a $0 $ quando $\rho $, cioè la distanza fra $(x,y)$ e $(0,0)$, è sufficientemente piccolo. Ne segue che il limite proposto vale $0 $ proprio per definizione di limite.
Il limite proposto sembra "confezionato" appositamente per fare uso delle coordinate polari...
Si ha:
$lim_{(x,y) \to (0,0)} frac{x^4}{x^2 + y^2} = 0 $
Infatti, passando in coordinate polari, si ha:
$ frac{x^4}{x^2 + y^2} = \rho^2 cos^4\theta $
E quindi si può scrivere la maggiorazione
$|frac{x^4}{x^2 + y^2} |= |\rho^2 cos^4\theta | \le \rho^2 $
E dato che $0 \le |f(x,y)| \le \rho^2 $, la funzione è arbitrariamente vicina a $0 $ quando $\rho $, cioè la distanza fra $(x,y)$ e $(0,0)$, è sufficientemente piccolo. Ne segue che il limite proposto vale $0 $ proprio per definizione di limite.
In questo caso le coordinate polari si prestano alla perfezione.
Detta $gamma: RR xx [0,2pi) \rarr [-1,1]xx[-1,1]$, $\theta \mapsto [cos(theta),sin(theta)]$, allora $f \circ \ gamma (theta)= \frac{rho^4 sin^4(theta)}{rho^2}$. Ora prendi il limite per $(\rho,\theta) \rarr (0,0)$
EDIT: pilloeffe mi ha giusto anticipato
ma abbiamo scritto al stessa cosa
Detta $gamma: RR xx [0,2pi) \rarr [-1,1]xx[-1,1]$, $\theta \mapsto [cos(theta),sin(theta)]$, allora $f \circ \ gamma (theta)= \frac{rho^4 sin^4(theta)}{rho^2}$. Ora prendi il limite per $(\rho,\theta) \rarr (0,0)$
EDIT: pilloeffe mi ha giusto anticipato
ma abbiamo scritto al stessa cosa
Avete ragione, ma chiede espressamente di non farne uso 
In sostanza bisogna trovare delle maggiorazioni, con la tecnica di quel tipo, ma non capisco seil ragionamento svolto da me sia corretto..
In sostanza bisogna trovare delle maggiorazioni, con la tecnica di quel tipo, ma non capisco seil ragionamento svolto da me sia corretto..
"sampe":
ma chiede espressamente di non farne uso
Mah, mi sforzo, ma non riesco a capire il motivo di queste assurde limitazioni...
"sampe":
non capisco se il ragionamento svolto da me sia corretto..
Qualche errore di scrittura, ma è corretto:
$ |x^4/(x^2+y^2)|=x^4/(x^2+y^2) <= x^4/x^2 = x^2 <= x^2+y^2 (= \rho^2 ... ) \to 0 $
per $(x, y) \to (0, 0) $
In realtà credo per farci esercitare anche a questo metodo. Non saprei in effetti. Ma tant'è meglio esercitarsi
Posso chiederti perché si mette rho alla fine, non mi è chiaro quel passaggio nemmeno sull'eserciziario è stato chiaro e rimango col dubbio
Grazie e buona domenica a tutti voi
Posso chiederti perché si mette rho alla fine, non mi è chiaro quel passaggio nemmeno sull'eserciziario è stato chiaro e rimango col dubbio
Grazie e buona domenica a tutti voi
Perché $rho=sqrt(x^2+y^2)$. E' il "raggio".
Grazie, avevo intuito fosse rho il "raggio" di qualcosa, però non trovandomi in coordinate polari non ne capisco bene il senso. E dal solo studio non sono riuscito a figurarmelo.
Posso chiederti se riesci a farmi chiarezza?
[Edit]
Mentre postavo mi è venuta un'idea, sarebbe quello il raggio dell'intorno "palla" che sto valutando? Sostanzialmente dico qualsiasi intorno di quel raggio rho che considero tende a zero e trovo sempre la funzione all'interno => la funzione tende al valore l dato che vale : |f(x,y)-l|<=g(x,y) con g(x,y) la mia rho?
Ho un libro fatto malissimo mi sa
Posso chiederti se riesci a farmi chiarezza?
[Edit]
Mentre postavo mi è venuta un'idea, sarebbe quello il raggio dell'intorno "palla" che sto valutando? Sostanzialmente dico qualsiasi intorno di quel raggio rho che considero tende a zero e trovo sempre la funzione all'interno => la funzione tende al valore l dato che vale : |f(x,y)-l|<=g(x,y) con g(x,y) la mia rho?
Ho un libro fatto malissimo mi sa
Non ho capito la fine delle tua frase nell'edit. Comunque sì, con $\rho$ si intende il raggio del disco. Forse una letta al paragrafo "coordinate polari" ti farebbe bene
In poche parole, questa trasformazione si presta bene per descrivere funzioni che presentano "simmetria radiale". Nel calcolo dei limiti, se riesci a mostrare che il limite non dipende dalla scelta di $theta$ (che come avrai intuito rappresenta l'angolo), allora esiste (altrimenti no).
In poche parole, questa trasformazione si presta bene per descrivere funzioni che presentano "simmetria radiale". Nel calcolo dei limiti, se riesci a mostrare che il limite non dipende dalla scelta di $theta$ (che come avrai intuito rappresenta l'angolo), allora esiste (altrimenti no).
No aspetta mi sono spiegato male, scusami.
Le coordinate polari le ho già studiate e mi pare capite.
Non capivo il nesso di introdurle nel caso di maggiorazioni, capisco nella soluzione del limite tramite polari. Ma nel mio caso ho solo cercato una funzione g(x) tale che risultasse
Mah, mi sforzo, ma non riesco a capire il motivo di queste assurde limitazioni...
Qualche errore di scrittura, ma è corretto:
$ |x^4/(x^2+y^2)|=x^4/(x^2+y^2) <= x^4/x^2 = x^2 <= x^2+y^2 (= \rho^2 ... ) \to 0 $
per $(x, y) \to (0, 0) $[/quote]
Le coordinate polari le ho già studiate e mi pare capite
.Non capivo il nesso di introdurle nel caso di maggiorazioni, capisco nella soluzione del limite tramite polari. Ma nel mio caso ho solo cercato una funzione g(x) tale che risultasse
"pilloeffe":
[quote="sampe"]ma chiede espressamente di non farne uso
Mah, mi sforzo, ma non riesco a capire il motivo di queste assurde limitazioni...
"sampe":
non capisco se il ragionamento svolto da me sia corretto..
Qualche errore di scrittura, ma è corretto:
$ |x^4/(x^2+y^2)|=x^4/(x^2+y^2) <= x^4/x^2 = x^2 <= x^2+y^2 (= \rho^2 ... ) \to 0 $
per $(x, y) \to (0, 0) $[/quote]
sampe, intervengo solo per specificare che quando ho scritto $ \le x^2 + y^2 (= \rho^2... ) $ era solo per farti notare che quella quantità corrisponde al $\rho^2 $ che si era ottenuto con la maggiorazione tramite le coordinate polari del mio post precedente, nient'altro...
Ahhhh ok, chiaro ora
Grazie mille a entrambi:)
Grazie mille a entrambi:)
"sampe":
Non capivo il nesso di introdurle nel caso di maggiorazioni,
Se la tua espressione è una funzione di $rho,theta$, nel caso particolare nel quale hai seni e coseni, questi in genere puoi maggiorarli agevolmente e eliminare la dipendenza da $theta$. Tutto qua
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