Limiti a 2 variabili
Ciao a tutti,
sono tornato sull'argomento limiti a 2 variabili e sto cercando di approfondire meglio. Mi rendo conto che molti di voi sono dei professionisti in ambito matematico ma vi chiedo di essere più semplici e pratici possibili visto che a breve dovrò sostenere un esame di matematica 2
Ho questo limite da svolgere:
$lim_((x,y)->(0,0))(x^3+y^3)/(x^2+y^2)$
Io procederei con la restrizione dunque:
$y=mx$
$lim_(x->0)(x^3+m^3x^3)/(x^2+m^2x^2) = lim_(x->0)(x^3(1+m^3))/(x^2(1+m^2)) = lim_(x->0)(x(1+m^3))/(1+m^2) = 0$ indipendentemente da m
quindi il limite esiste ed è 0?
sono tornato sull'argomento limiti a 2 variabili e sto cercando di approfondire meglio. Mi rendo conto che molti di voi sono dei professionisti in ambito matematico ma vi chiedo di essere più semplici e pratici possibili visto che a breve dovrò sostenere un esame di matematica 2
Ho questo limite da svolgere:
$lim_((x,y)->(0,0))(x^3+y^3)/(x^2+y^2)$
Io procederei con la restrizione dunque:
$y=mx$
$lim_(x->0)(x^3+m^3x^3)/(x^2+m^2x^2) = lim_(x->0)(x^3(1+m^3))/(x^2(1+m^2)) = lim_(x->0)(x(1+m^3))/(1+m^2) = 0$ indipendentemente da m
quindi il limite esiste ed è 0?
Risposte
Il limite esiste ma non per quel' motivo. Ti sei avicinato da $\(0,0\)$ solo secondo i punti che verificano $y=mx$.
Puoi scivere $\|x^3+y^3\| \leq \|x^3|+\|y^3\| = \leq \|x\|\(x^2+y^2\) +\|y\|\(x^2+y^2\) $
Puoi scivere $\|x^3+y^3\| \leq \|x^3|+\|y^3\| = \leq \|x\|\(x^2+y^2\) +\|y\|\(x^2+y^2\) $
"girdav":
Il limite esiste ma non per quel' motivo. Ti sei avicinato da $\(0,0\)$ solo secondo i punti che verificano $y=mx$.
Puoi scivere $\|x^3+y^3\| \leq \|x^3|+\|y^3\| = \leq \|x\|\(x^2+y^2\) +\|y\|\(x^2+y^2\) $
ciao, innanzitutto grazie per avermi risposto però non capisco cosa fai. E' una formula specifica? non riesco a capire come ci arrivi. Grazie anticipatamente
$x^2 \leq x^2+y^2$ e $y^2 \leq x^2+y^2$: con quello che ho fatto devi poter trovar il limite.
scusa ma continuo a non capire.. da dove l'hai prese quelle disequazioni? te le sei inventate?
E' un metodo come un altro:
$0\leq \| \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\| \leq \frac{\| x\|\(x^2+y^2\)+\|y\|\(x^2+y^2\)}{x^2+y^2} =\|x\|+\|y\|$ e il limite in $\(0,0\)$ è più facile.
$0\leq \| \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\| \leq \frac{\| x\|\(x^2+y^2\)+\|y\|\(x^2+y^2\)}{x^2+y^2} =\|x\|+\|y\|$ e il limite in $\(0,0\)$ è più facile.
è una proprietà del valore assoluto.... potresti anche passare in cordinate polari e vedere se il limite dipende da teta o no...
scusate sarò scemo ma non so come ci sei arrivato.. puoi spiegarmi cosa hai fatto chiaramente?
Hai posto la funziona maggiore di 0 e minore di cosa?
Hai posto la funziona maggiore di 0 e minore di cosa?
scusa ragionandoci ho capito che non è un procedimento particolare il tuo ma una semplice trasformazione di f(x) che ti permette di rendere il limite determinabile. Quindi in generale, per risolvere un limite a 2 variabili (che si presenta in una forma indeterminata) è necessario effettuare delle trasformazioni o eventualmente sfruttare il teorema del confronto?
Sinceramente speravo ci fosse un metodo più "statico" onde evitare di non arrivare alla soluzione.. così si va diciamo un po più a tentativi anche perchè è da un po che non faccio matematica 1 quindi dovrei riprendere tutte le regole di trasformazioni ecc..
EDIT:
Ecco cosa ho trovato su wikipedia:
Pensandoci bene, se non sbaglio, il limite ad una variabile lo risolvevo facendo il limite destro e il limite sinistro. Se questi coincidevano allora era quello il limite, in alternativa il limite non esisteva.
Nell'esempio di wiki si fa il limite destro di x con y=0 e si deduce che non esiste.
Allo stesso modo potrei fare l'esercizio da me proposto in questo modo:
pongo y=0
$lim_(x->0)(x^3+0^3)/(x^2+0^2)$ il limite si riduce a $lim_(x->0)x$ che sia in 0+ , 0-, 0 (limite destro sinistro ed uguale a 0) diventa 0
pongo x=0
$lim_(y->0)(y^3+0^3)/(y^2+0^2)$ il limite si riduce a $lim_(y->0)y$ che sia in 0+ , 0-, 0 (limite destro sinistro ed uguale a 0) diventa 0
Quindi tutti i 6 limiti concordano e ne deduco che il limite esiste ed è 0. E' corretto il ragionamento? Puo essere fatto universalmente?[/img]
Sinceramente speravo ci fosse un metodo più "statico" onde evitare di non arrivare alla soluzione.. così si va diciamo un po più a tentativi anche perchè è da un po che non faccio matematica 1 quindi dovrei riprendere tutte le regole di trasformazioni ecc..
EDIT:
Ecco cosa ho trovato su wikipedia:
Pensandoci bene, se non sbaglio, il limite ad una variabile lo risolvevo facendo il limite destro e il limite sinistro. Se questi coincidevano allora era quello il limite, in alternativa il limite non esisteva.
Nell'esempio di wiki si fa il limite destro di x con y=0 e si deduce che non esiste.
Allo stesso modo potrei fare l'esercizio da me proposto in questo modo:
pongo y=0
$lim_(x->0)(x^3+0^3)/(x^2+0^2)$ il limite si riduce a $lim_(x->0)x$ che sia in 0+ , 0-, 0 (limite destro sinistro ed uguale a 0) diventa 0
pongo x=0
$lim_(y->0)(y^3+0^3)/(y^2+0^2)$ il limite si riduce a $lim_(y->0)y$ che sia in 0+ , 0-, 0 (limite destro sinistro ed uguale a 0) diventa 0
Quindi tutti i 6 limiti concordano e ne deduco che il limite esiste ed è 0. E' corretto il ragionamento? Puo essere fatto universalmente?[/img]
da quel poco che so sui limiti a due variabili, posso dirti che non c'è un metodo standard... infatti non è detto che tutti i sei limiti servano per dare una soluzione definitiva...
per risolvere un limite ci sono vari modi.... posso considerare restrizioni: f(x,0), f(0,y)
posso considerare delle traiettorie di avvicinamento come ad esempio una retta y=3x ---> f(x,3x) o più in generale f(x, mx)
ma posso anche scegliere di avvicinarmi al limite mediante la curva x^2 o x-x^2....
oppure posso passare in coordinate polari....
in altre parole va ad intuito........
per risolvere un limite ci sono vari modi.... posso considerare restrizioni: f(x,0), f(0,y)
posso considerare delle traiettorie di avvicinamento come ad esempio una retta y=3x ---> f(x,3x) o più in generale f(x, mx)
ma posso anche scegliere di avvicinarmi al limite mediante la curva x^2 o x-x^2....
oppure posso passare in coordinate polari....
in altre parole va ad intuito........
inoltre quando c'è una funzione che presenta un $x^2+y^2$ conviene in genere passare in coordinate polari e il limite nel tuo caso verrebbe zero. ma ciò non dice che il limite esiste ed è zero, devi anche vedere se il limite per rho che tende a $zero^+$ del sup|(f(rho,teta)-L)|=0...dove L è il risultato del limite... solo a quel punto dici che il limite è L.
comunque il limite esiste e vale zero...
comunque il limite esiste e vale zero...
tutti i metodi che hai citato li ho proposti diverse volte sul forum.. ho pure proposto combinazioni di esse ma comunque mi viene detto sempre che non sono sufficienti.. non so più che fare.. su internet non c'è niente, il mio libro è arabo e dedica mezza paginetta assurda a queste cose, boh....
io che sono uno studente a cui come si suol dire la matematica "piace" relativamente per risolvere i limiti di due variabili faccio così....
prima sostituisco brutalmente il punto a cui tende x,y. e vedo che probabilmente verra una qualche forma indeterminata.
provo poi a sostituire y=mx e vedo se per qualche retta trovo che il limite dipende da m nel qual caso il limite non esiste.
poi vedo, se nella funzione sono presenti x^2 + y^2 allora passo in coordinate polari, come detto sopra; ricorda che poi devi fare il lim del sup|....| devi cioè fare il limite di una qualche maggiorazione della funzione f(rho,teta).
poi se neanche questo metodo mi basta (in genere penso che per gli studenti, almeno per gli studenti di ingegneria, non vengano cose impossibili, in genere i casi particolari non capitano) provo a ragionare sul dominio della funzione e a immaginarmi cosa viene se ad esempio seguo una curva particolare come ad esempio una spirale o cosa simile..... purtroppo tali limiti vanno "a culo" (:) dipende dall'esercizio proposto) e ad intuito... spero di averti aiutato....
per risolvere i limiti di due variabili faccio così....prima sostituisco brutalmente il punto a cui tende x,y. e vedo che probabilmente verra una qualche forma indeterminata.
provo poi a sostituire y=mx e vedo se per qualche retta trovo che il limite dipende da m nel qual caso il limite non esiste.
poi vedo, se nella funzione sono presenti x^2 + y^2 allora passo in coordinate polari, come detto sopra; ricorda che poi devi fare il lim del sup|....| devi cioè fare il limite di una qualche maggiorazione della funzione f(rho,teta).
poi se neanche questo metodo mi basta (in genere penso che per gli studenti, almeno per gli studenti di ingegneria, non vengano cose impossibili, in genere i casi particolari non capitano) provo a ragionare sul dominio della funzione e a immaginarmi cosa viene se ad esempio seguo una curva particolare come ad esempio una spirale o cosa simile..... purtroppo tali limiti vanno "a culo" (:) dipende dall'esercizio proposto) e ad intuito... spero di averti aiutato....
finalmente qualcuno che parla chiaro e in maniera pratica.. evidentemente tra studenti ci capiamo ihhi.. cmq vedrò di sviluppare con coordinate polari e fare magari qualche mia considerazione.. se ho dubbi su qualche esercizio posto.. grazie mille!!!
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