Limiti

[ingegnè]

Ciao a tutti, ho svolto questo limite $ lim_(x -> +infty) e^-x senx $ e sfruttando il teorema del confronto il limite mi viene $ 0 $ ora dovrei fare quest'altro limite : $ lim_(x -> pm infty) e^x cosx $. Come lo svolgo? Se x tende a $ +infty $ avro' una successione divergente positivamente per una limitata e nel secondo caso una succ. divergente negativamente per una limitata. Penso che nel primo caso debba venire $ +infty $ e nel secondo a $ -infty $ ma credo sia sbagliato.. Qua mi da questo risultato http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+e^x+cosx ma non capisco il perchè, sapete aiutarmi?

[Ziben]

Ciao, per come la vedo io,
per $x rarr +oo$ il limite di $e^x cosx$ non esiste perché hai il prodotto di una funzione divergente ($e^x$) per una che oscilla continuamente tra volori positivi e negativi ($cosx$), per $x rarr -oo$ il limite è zero perché hai il prodotto di una funzione infinitesima ($e^x$) per una limitata ($cosx$).

[ingegnè]

Intanto grazie per la risposta! Io so che, se ho due successioni $ a_n $ e $ b_n $ , se la prima tende a + infinito e la seconda è limitata inferiormente da un numero positivo allora lim $ a_n * b_n $ = + infinito , se invece $ b_n $ è limitata superiormente da un numero negativo allora il limite del prodotto delle due successioni sarà uguale a - infinito. Questa è l'unica regola che conosco, e che per ora abbiamo studiato, che mi viene in mente per risolvere questo esercizio ma anche questa non va bene! Potresti gentilmente spiegarmi perchè nel primo caso non esiste il limite e nel secondo caso è 0?

[Ziben]

quello che dici è corretto, come è corretto il fatto che non puoi applicarlo a questo caso perché $cosx$ non è nè limitata superiormente da un numero negativo nè limitata inferiormente da un un numero positivo, ma osclilla tra valori positivi e negativi. Il limite per $x rarr oo$ di $cosx$ non esiste perché non essendo $oo$ un numero sul quale calcolare la funzione non si può sapere se assume un valore positivo o negativo e nemmeno che valore assume, possiamo soltanto sapere che $-1 <= cosx <= 1$ (lo stesso vale per $sinx$). Il prodotto $e^x cosx$ man mano che x assume valori sempre più grandi ($rarr +oo$) assumerà valori sempre più grandi quando $cosx > 0$ e sempre più piccoli quando $cosx < 0$ e perfino nulli quando $cosx = 0$, cosicchè a $+oo$ non potendo decidere su quale segno avrà il $cosx$ non si può nemmeno sapere se la funzione sarà $+oo$ o $-oo$ e quindi il limite non esiste.
Per quanto riguarda invece $x rarr -oo$, $e^x$ diventa sempre più piccola e al limite $=0$ mentre $-1 <= cosx <= 1$; pur non sapendo che valore assume il $cosx$ sarà sempre un valore finito che moltiplicato per $0$ sempre $0$ fa.
Ho usato un linguaggio poco matematico per cercare di essere chiaro, spero di esserci riuscito.

[ingegnè]

Chiaro? Chiarissimo!!! Grazie mille!!