Limiti

Seneca1
Sia $ f : RR -> RR$ derivabile.

Le seguenti condizioni non sono in contraddizione?

$lim_(x -> -oo ) f(x) + x = 0$

$lim_(x -> -oo ) f(x) - 2 x = 1$

Il mio ragionamento è il seguente:

Nel primo limite ho $+ x -> - oo$ . Per esperienza il limite della somma di due funzioni di cui una delle due è un infinito risulta $0$ quando il limite si presenta in forma indeterminata. Quindi quando l'altra funzione $f(x) -> +oo$.

Ma se così fosse il secondo limite sarebbe falso.

Dove cado in errore?

Risposte
A.C.5
semplicemente usando la definizione vedi che le tue due ipotesi sono equivalenti a dire che il limite per x --> - infinito di $ f(x) $ è allo stesso tempo $x$ e $1-2x$ , ovvero la prima diverge a meno infinito e l'altra a più infinito.. ma è assurdo per l'unicità del limite

p.s. : questo ragionamento si può fare perchè la funzione è C 1 e dunque continua.. penso sia giusto così :)

MariaMatematica0
A.C., tu affermi che $\lim_{x \to -\infty}f(x) = x$ e che $\lim_{x \to -\infty}f(x) = 1-2x$? Dove hai trovato queste definizioni di limite? Per quanto ne so io il limite è un numero oppure infinito o non esiste. Il risultato di un limite non è una funzione.

MariaMatematica0
"Seneca":
Sia $ f : RR -> RR$ derivabile.

Le seguenti condizioni non sono in contraddizione?

$lim_(x -> -oo ) f(x) + x = 0$

$lim_(x -> -oo ) f(x) - 2 x = 1$

Il mio ragionamento è il seguente:

Nel primo limite ho $+ x -> - oo$ . Per esperienza il limite della somma di due funzioni di cui una delle due è un infinito risulta $0$ quando il limite si presenta in forma indeterminata. Quindi quando l'altra funzione $f(x) -> +oo$.

Ma se così fosse il secondo limite sarebbe falso.

Dove cado in errore?


Non hai considerato il fatto che il limite $\lim_{x \to -\infty}f(x)$ potrebbe benissimo non esistere.

A.C.5
mai visto la definizione di limite che inizia per ogni epsilon > 0 ??? da lì si va avanti

deserto1
"Seneca":
Sia $ f : RR -> RR$ derivabile.

Le seguenti condizioni non sono in contraddizione?

(1) $lim_(x -> -oo ) f(x) + x = 0$

(2) $lim_(x -> -oo ) f(x) - 2 x = 1$



Io agirei così:
da (1) segue che $lim_(x -> -oo ) 2(f(x) + x) = 0$ che sommata a (2) fornisce $lim_(x -> -oo ) 3f(x) = 1$ ossia $lim_(x -> -oo ) f(x) = 1/3$. Ma se così fosse allora sarebbe $lim_(x -> -oo ) f(x) + x = -oo$.

MariaMatematica0
"A.C.":
mai visto la definizione di limite che inizia per ogni epsilon > 0 ??? da lì si va avanti
Rileggi la definizione di limite. Non puoi avere una funzione come limite, almeno come l'hai esposta tu.

Seneca1
"deserto":


Io agirei così:
da (1) segue che $lim_(x -> -oo ) 2(f(x) + x) = 0$ che sommata a (2) fornisce $lim_(x -> -oo ) 3f(x) = 1$ ossia $lim_(x -> -oo ) f(x) = 1/3$. Ma se così fosse allora sarebbe $lim_(x -> -oo ) f(x) + x = -oo$.


Grazie a tutti.

Okay, qui ci ero arrivato. Mi confermi che le due condizioni sono in contraddizione?

Queste sono le ipotesi di un esercizio che ha diversi punti e devo capire se c'è un errore nelle premesse.

pater46
Mi piace la dimostrazione di deserto.

@A.C. : Ha ragione MariaMatematica0. A partire dalle tue considerazioni puoi giungere a confronti asintotici (che tuttavia non mi sembrano giungere a nulla di utile) ma non puoi dire cose come:

$lim f(x) = x$ perchè non ha alcun senso.

Rigel1
Volendo si può procedere, sostanzialmente come indicato da deserto, anche più rapidamente:
dal momento che i limiti in 1) e 2) esistono finiti per ipotesi, avremo anche che
$\lim_{x\to -\infty}[(f(x)+x) - (f(x) - 2x)] = 0-1 = -1$,
cioè $\lim_{x\to -\infty} 3x = -1$, da cui l'assurdo.

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