Limiti

[George Boole]

Salve.Ho dei problemi con questi limiti. come dovrei risolverli?


$ lim_(n -> +oo ) sqrt(e^n+1)- sqrt(e^n-1) $

$ lim_(n -> +oo ) cos(1/n)^n

$lim_(n -> +oo ) (sen(1/n))^(1/n) $

$ lim_(n -> +oo) 1/(sin(pi+1/(n))) $

Grazie dell aiuto

[ciampax]

Idee?

[George Boole]

idee ne ho ma scriverei inutilmente dato che non mi sono venuti...in pratica ho provato a "costruirmi" i limiti notevoli ma senza risultati

[lorè91]

per il primo limite prova a fare una razionallizzazione, il secondo è una forma $1^ (00) $ , quindi hai a che fare con una di quelle forme indeterminate in cui devi usare i logaritmi, la terza anche ..prova a scrivere $e^[(ln (cos(1/n))*n]

[Sk_Anonymous]

"George Boole":Salve.Ho dei problemi con questi limiti. come dovrei risolverli?


$ lim_(n -> +oo ) sqrt(e^n+1)- sqrt(e^n-1) $

$ lim_(n -> +oo ) cos(1/n)^n

$lim_(n -> +oo ) (sen(1/n))^(1/n) $

$ lim_(n -> +oo) 1/(sin(pi+1/(n))) $

Grazie dell aiuto

1) $ lim_(n -> +oo ) sqrt(e^n+1)- sqrt(e^n-1) $ =$ lim_(n -> +oo ) (e^n+1-e^n+1)/(sqrt(e^n+1)+sqrt(e^n-1)$$= lim_(n -> +oo ) 2/(2e^n)=0$;
3) $ lim_(n -> +oo ) (sen(1/n))^(1/n)= lim_(n -> +oo ) e^(((1/n)log(sin(1/n))))= lim_(n -> +oo )e^((1/n)log(1/n))= lim_(n -> +oo ) e^(-log(n)/n)=e^0=1
4) $ lim_(n -> +oo) 1/(sin(pi+1/(n))) $ $ lim_(n -> +oo) 1/sin(pi)= $ +oo $$
Per il secondo limite, userei il concetto di asintotico.
Quindi, $ lim_(n -> +oo ) cos(1/n)^n=$ $lim_(n -> +oo )e^(nlog(cos(1/n)))=$ $lim_(n -> +oo )e^(nlog(1-(1/2)(1/n^2))$. Ho usato la proprietà che il coseno di x è asintotico a $1-(1/2)x^2$, se x tende a 0 (nel nostro caso le ascisse tendono a infinito ma l'argomento del coseno tende a 0 quindi è uguale). Inoltre, essendo il logaritmo asintotico al secondo pezzo del suo argomento, abbiamo: $lim_(n -> +oo ) e^(n(-1/(2n^2))$=$lim_(n -> +oo ) e^(-1/(2n))=1

[George Boole]

"Soscia":[quote="George Boole"]Salve.Ho dei problemi con questi limiti. come dovrei risolverli?


$ lim_(n -> +oo ) sqrt(e^n+1)- sqrt(e^n-1) $

$ lim_(n -> +oo ) cos(1/n)^n

$lim_(n -> +oo ) (sen(1/n))^(1/n) $

$ lim_(n -> +oo) 1/(sin(pi+1/(n))) $

Grazie dell aiuto

1) $ lim_(n -> +oo ) sqrt(e^n+1)- sqrt(e^n-1) $ =$ lim_(n -> +oo ) (e^n+1-e^n+1)/(sqrt(e^n+1)+sqrt(e^n-1)$$= lim_(n -> +oo ) 2/(2e^n)=0$;
3) $ lim_(n -> +oo ) (sen(1/n))^(1/n)= lim_(n -> +oo ) e^(((1/n)log(sin(1/n))))= lim_(n -> +oo )e^((1/n)log(1/n))= lim_(n -> +oo ) e^(-log(n)/n)=e^0=1
4) $ lim_(n -> +oo) 1/(sin(pi+1/(n))) $ $ lim_(n -> +oo) 1/sin(pi)= $ +oo $$
Per il secondo limite, userei il concetto di asintotico.
Quindi, $ lim_(n -> +oo ) cos(1/n)^n=$ $lim_(n -> +oo )e^(nlog(cos(1/n)))=$ $lim_(n -> +oo )e^(nlog(1-(1/2)(1/n^2))$. Ho usato la proprietà che il coseno di x è asintotico a $1-(1/2)x^2$, se x tende a 0 (nel nostro caso le ascisse tendono a infinito ma l'argomento del coseno tende a 0 quindi è uguale). Inoltre, essendo il logaritmo asintotico al secondo pezzo del suo argomento, abbiamo: $lim_(n -> +oo ) e^(n(-1/(2n^2))$=$lim_(n -> +oo ) e^(-1/(2n))=1[/quote]

Grazie a tutti di avermi risposto
Soscia non capisco alcune cose...
1) Nell esercizio 3 dove finisce il seno?
2) Il 4 esercizio dovrebbe dare $- oo $ almeno cosi mi dice derive
3) Il concetto di asintotico non l abbiamo ancora affrontato (non abbiamo fatto nemmeno le derivate).C'è un altro modo per risolverlo ugualmente?


Grazie sempre

[Sk_Anonymous]

"George Boole":[quote="Soscia"][quote="George Boole"]Salve.Ho dei problemi con questi limiti. come dovrei risolverli?


$ lim_(n -> +oo ) sqrt(e^n+1)- sqrt(e^n-1) $

$ lim_(n -> +oo ) cos(1/n)^n

$lim_(n -> +oo ) (sen(1/n))^(1/n) $

$ lim_(n -> +oo) 1/(sin(pi+1/(n))) $

Grazie dell aiuto

1) $ lim_(n -> +oo ) sqrt(e^n+1)- sqrt(e^n-1) $ =$ lim_(n -> +oo ) (e^n+1-e^n+1)/(sqrt(e^n+1)+sqrt(e^n-1)$$= lim_(n -> +oo ) 2/(2e^n)=0$;
3) $ lim_(n -> +oo ) (sen(1/n))^(1/n)= lim_(n -> +oo ) e^(((1/n)log(sin(1/n))))= lim_(n -> +oo )e^((1/n)log(1/n))= lim_(n -> +oo ) e^(-log(n)/n)=e^0=1
4) $ lim_(n -> +oo) 1/(sin(pi+1/(n))) $ $ lim_(n -> +oo) 1/sin(pi)= $ +oo $$
Per il secondo limite, userei il concetto di asintotico.
Quindi, $ lim_(n -> +oo ) cos(1/n)^n=$ $lim_(n -> +oo )e^(nlog(cos(1/n)))=$ $lim_(n -> +oo )e^(nlog(1-(1/2)(1/n^2))$. Ho usato la proprietà che il coseno di x è asintotico a $1-(1/2)x^2$, se x tende a 0 (nel nostro caso le ascisse tendono a infinito ma l'argomento del coseno tende a 0 quindi è uguale). Inoltre, essendo il logaritmo asintotico al secondo pezzo del suo argomento, abbiamo: $lim_(n -> +oo ) e^(n(-1/(2n^2))$=$lim_(n -> +oo ) e^(-1/(2n))=1[/quote]

Grazie a tutti di avermi risposto
Soscia non capisco alcune cose...
1) Nell esercizio 3 dove finisce il seno?
2) Il 4 esercizio dovrebbe dare $- oo $ almeno cosi mi dice derive
3) Il concetto di asintotico non l abbiamo ancora affrontato (non abbiamo fatto nemmeno le derivate).C'è un altro modo per risolverlo ugualmente?


Grazie sempre[/quote]
ma sei uno studente universitario?

[George Boole]

"Soscia":ma sei uno studente universitario?

si perchè?

[Sk_Anonymous]

mi sembra strano che tu non abbia fatto le derivate, però questi limiti, specialmente il secondo, secondo me si poteva risolvere soltanto ricorrendo al concetto di asintotico...

[George Boole]

purtroppo ancora non ci siamo arrivati.
Sicuramente un modo per risolverlo ci sara' senza le derivate se ci ha dato questi es.
puoi rispondere alle altre domande che ti ho fatto nel post precedente?

grazie

[Sk_Anonymous]

il seno è sparito perchè esso è asintotico al suo argomento quando n tende a +oo, per quanto riguarda l'ultimo limite, 1/n tende a 0 quindi rimane $1/sin(pi)$ che fa +oo. Questi limiti senza ricorrere al concetti di asintotico, specialmente il secondo, non sono molto immediati, forse sono io che non mi ricordo come si risolvono senza le derivate, aspetta qualcuno più preparato di me ciao

[George Boole]

ok grazie del tuo tempo soscia

aspetto qualcuno allora

[George Boole]

uppp

[Pdirac]

Assumendo che tu conosca i limiti notevoli $lim_(x->oo) sin(x)/x = 1$ e $lim_(x->oo) x^(1/x) = 1$ il terzo lo puoi risolvere anche così (il concetto di fondo comunque è identico a quello di Soscia, solo forse si basa più su limiti notevoli che su confronti asintotici): $lim_(n->oo) (sin(1/n))^(1/n) = lim_(n->oo) ((1/n)(sin(1/n))/(1/n))^(1/n) = lim_(n->oo) (1/n)^(1/n) = lim_(n->oo) 1/n^(1/n) = 1$.
Il primo mi sembra sia un limite notevole basilare, il secondo non so quanto sia basilare. Se non conosci questi sarebbe bene che dica quali strumenti hai .

Comunque non ho capito tra gli altri esercizi di quali la spiegazione di Soscia non ti era chiara (per ragioni di asintoti & c.).

[George Boole]

perfetto grazie.
il secondo pero' senza i confronti asintotici si puo' fare?
il quarto derive mi dice che deve dare meno infinito...come si risolve?

[matteotass]

Per il quarto basta sostituire... l' argomento del seno tende a $pi^+$ e quindi il denominatore tende a $0^-$.

[Pdirac]

Il secondo intendi $cos(1/n)^n$? forse mi sta sfuggendo qualcosa ma mi sembra che sia semplicemente $cos((1/n)^n) = cos(1/n^n) -> cos(0) = 1$..

[George Boole]

"Pdirac":Il secondo intendi $cos(1/n)^n$? forse mi sta sfuggendo qualcosa ma mi sembra che sia semplicemente $cos((1/n)^n) = cos(1/n^n) -> cos(0) = 1$..

$cos((1/n)^n) = cos(1/n^n) -> cos(0) = 1$


ma $1^n$ non sarebbe $1^ oo $ e quindi forma indeterminata?

[Pdirac]

No, $lim_(n->oo) 1^n = 1$, puoi fare la prova... moltiplica quante volte vuoi 1 per 1 e vedi che esce . È quando hai un numero che tende a 1 elevato a un'altro che tende a infinito, che è forma indeterminata. Esempio: $lim_(n->0) (1-n)^(1/n)$ è forma indeterminata $1^oo$.

[George Boole]

"Pdirac":No, $lim_(n->oo) 1^n = 1$, puoi fare la prova... moltiplica quante volte vuoi 1 per 1 e vedi che esce . È quando hai un numero che tende a 1 elevato a un'altro che tende a infinito, che è forma indeterminata. Esempio: $lim_(n->0) (1-n)^(1/n)$ è forma indeterminata $1^oo$.

ahhh ora capisco!

[Sk_Anonymous]

"Pdirac":No, $lim_(n->oo) 1^n = 1$, puoi fare la prova... moltiplica quante volte vuoi 1 per 1 e vedi che esce . È quando hai un numero che tende a 1 elevato a un'altro che tende a infinito, che è forma indeterminata. Esempio: $lim_(n->0) (1-n)^(1/n)$ è forma indeterminata $1^oo$.

Stessa cosa per le altre forme di indeterminazione, come $oo*0$.