Limiti
salve
sto provando a risolvere questo limite
$ lim_(n -> oo)log ((3)^(n) + (n)^(3))/sqrt((n)^(2)+1) $
pero non riesco a capire come risolverlo.
io provo a fare in questo modo
$ lim_(n -> oo)(log (n)^(3) ( (3)^(n)/(n)^(3) +1))/sqrt((n)^(2)+1) $
poi uso le prorprieta dei logartimi e diventa cosi
$ lim_(n -> oo)(log (n)^(3) + log ( (3)^(n)/(n)^(3) +1))/sqrt((n)^(2)+1) $
adesso non so come andare avanti
sto provando a risolvere questo limite
$ lim_(n -> oo)log ((3)^(n) + (n)^(3))/sqrt((n)^(2)+1) $
pero non riesco a capire come risolverlo.
io provo a fare in questo modo
$ lim_(n -> oo)(log (n)^(3) ( (3)^(n)/(n)^(3) +1))/sqrt((n)^(2)+1) $
poi uso le prorprieta dei logartimi e diventa cosi
$ lim_(n -> oo)(log (n)^(3) + log ( (3)^(n)/(n)^(3) +1))/sqrt((n)^(2)+1) $
adesso non so come andare avanti
Risposte
Intanto potresti considerare che
$ \sqrt{ n^2 +1 } = n\sqrt{ 1 + 1/n^2 } $ ( non metto il valore assoluto perchè siamo nei Naturali a quanto ho capito )
vediamo che questo termine all'infinito si comporta come $n$
ed inoltre
$ ln( 3^n + n^3 ) = ln 3^n( 1 + n^3/3^n ) = n ln3 + ln( 1 + n^3/3^n ) $
di questi due termini il primo si comporta come n, il secondo invece tende a 0, in quanto $n^3/3^n -> 0$ e $lim_{\varphi -> 0} ln (1+\varphi) = 0$.
Considerando il limite del rapporto allora, vediamo che tale limite è dunque finito, e vale esattamente...
$ \sqrt{ n^2 +1 } = n\sqrt{ 1 + 1/n^2 } $ ( non metto il valore assoluto perchè siamo nei Naturali a quanto ho capito )
vediamo che questo termine all'infinito si comporta come $n$
ed inoltre
$ ln( 3^n + n^3 ) = ln 3^n( 1 + n^3/3^n ) = n ln3 + ln( 1 + n^3/3^n ) $
di questi due termini il primo si comporta come n, il secondo invece tende a 0, in quanto $n^3/3^n -> 0$ e $lim_{\varphi -> 0} ln (1+\varphi) = 0$.
Considerando il limite del rapporto allora, vediamo che tale limite è dunque finito, e vale esattamente...
$frac{\log(3^n+n^3)}{\sqrt{n^2+1}} = \frac{\log[3^n(1+n^3/3^n)]}{n\sqrt{1+1/n^2}} = \frac{n \log 3 + \log(1+n^3/3^n)}{n\sqrt{1+1/n^2}}= \frac{\log 3 + \frac{1}{n}\log(1+n^3/3^n)}{\sqrt{1+1/n^2}}$.
A questo punto non dovresti avere difficoltà a concludere.
A questo punto non dovresti avere difficoltà a concludere.
scusa la mia domanda ma perche la radice la possiamo scrivere in quel modo ?
non ho trovato nessuna regola che mi permette di fare quella cosa.
forse non ho cercato ben.
mi potresti dire la regola
grazie
non ho trovato nessuna regola che mi permette di fare quella cosa.
forse non ho cercato ben.
mi potresti dire la regola
grazie
Sarai d'accordo con me che $ sqrt{ a^2b } = a \sqrt{ b } $ se $ a in NN$, altrimenti $|a| sqrt{ b } $ con $ a \in RR $
Dunque $ \sqrt{ n^2 +1 } = \sqrt{ n^2 ( 1 + 1/n^2 ) } = n \sqrt{ 1 + 1/n^2 } $
Dunque $ \sqrt{ n^2 +1 } = \sqrt{ n^2 ( 1 + 1/n^2 ) } = n \sqrt{ 1 + 1/n^2 } $
"Il prodotto di due potenze aventi lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente" (mi sembra che alle superiori insegnino così, se non ricordo male).
Quindi, applicando questa regola da destra a sinistra:
$(n^2+1)^{1/2} = [n^2\cdot(1+1/n^2)]^{1/2} = (n^2)^{1/2} \cdot (1+1/n^2)^{1/2}$.
Quindi, applicando questa regola da destra a sinistra:
$(n^2+1)^{1/2} = [n^2\cdot(1+1/n^2)]^{1/2} = (n^2)^{1/2} \cdot (1+1/n^2)^{1/2}$.
si grazie mi ero confuso.
ma guardando lo sviluppo di rigel non riesco a capire come andare avanti
come faccio a risolvere il denominatore?
non e che mi potresti risolvere tutti i passaggi.
scusami ma sto impazzendo con sti limiti
grazie di tutto.
ma guardando lo sviluppo di rigel non riesco a capire come andare avanti
come faccio a risolvere il denominatore?
non e che mi potresti risolvere tutti i passaggi.
scusami ma sto impazzendo con sti limiti
grazie di tutto.
mi puoi almeno spiegare come risolvere il denominatore ?
grazie
grazie
Poiché $1/n^2 \to 0$ per $n\to +\infty$, avrai che
$\sqrt{1+1/n^2} \to 1$ per $n\to +\infty$.
$\sqrt{1+1/n^2} \to 1$ per $n\to +\infty$.
scusa ma non ho capito una cosa.
nel risolvere un limite quando devo applicare il limite notevole ?
perche la mia prof vuole sempre i limiti notevoli.
ad esempio non lo posso usare per risolvere questo limite ?
poi
$ lim_(x -> y) f/g $
non la possiamo scrivere come
$ (lim_(x -> y) f)/
(lim_(x -> y) g) $
nel risolvere un limite quando devo applicare il limite notevole ?
perche la mia prof vuole sempre i limiti notevoli.
ad esempio non lo posso usare per risolvere questo limite ?
poi
$ lim_(x -> y) f/g $
non la possiamo scrivere come
$ (lim_(x -> y) f)/
(lim_(x -> y) g) $
Ciao!
Secondo me ci vuole qualche limite notevole....
Serve sia per calcolare il valore del denominatore, sia per calcolare il valore al numeratore.
Beatrice
Secondo me ci vuole qualche limite notevole....
Serve sia per calcolare il valore del denominatore, sia per calcolare il valore al numeratore.
Beatrice
Teorema: siano date $f, g: A\to \mathbb{R}$ e sia $x_0\in\mathbb{R}$ un punto di accumulazione di $A$.
Supponiamo che esistano finiti $\lim_{x\to x_0} f(x) = a$, $\lim_{x\to x_0} g(x) = b$, e che $b\ne 0$.
Allora $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}$.
Sicuramente questo risultato lo puoi usare.
Supponiamo che esistano finiti $\lim_{x\to x_0} f(x) = a$, $\lim_{x\to x_0} g(x) = b$, e che $b\ne 0$.
Allora $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}$.
Sicuramente questo risultato lo puoi usare.
forse non hai capito la mia domanda.
quando posso usare i limiti notevoli ?
e se nell'esercizio che ho scritto prima li posso usare.
quando posso usare i limiti notevoli ?
e se nell'esercizio che ho scritto prima li posso usare.
Tutto ciò che ti serve sapere è:
1) $1/n\to 0$, $1/n^2\to 0$, $n^3/3^n\to 0$ per $n\to +infty$;
2) i teoremi su somma, prodotto e quoziente di limiti finiti.
1) $1/n\to 0$, $1/n^2\to 0$, $n^3/3^n\to 0$ per $n\to +infty$;
2) i teoremi su somma, prodotto e quoziente di limiti finiti.
io sapevo poco e niente.
ma adesso ho le ide piu confuse di prima.
e ancora non sono riuscito a risolvere l'esercizio.
ma adesso ho le ide piu confuse di prima.
e ancora non sono riuscito a risolvere l'esercizio.
Sì, giusto...
Non devi usare i limiti notevoli, basta quello in 1) indicato da Rigel...
Forse ho deviato il discorso!
...Sorry...
Non devi usare i limiti notevoli, basta quello in 1) indicato da Rigel...
Forse ho deviato il discorso!
...Sorry...
beatrice ormai ho le ide confusissime mi puoi risolvere l'esercizio ? 
magari se hai msn
potremmo andare su msn e mi potresti spiegare qualcosa
magari se hai msn
potremmo andare su msn e mi potresti spiegare qualcosa
putroppo al lavoro di dispongo di autorizzazioni sufficienti a uare software di questo genere...
per altro anche le regole del forum non mi fanno disporre di autorizzazioni sufficienti a rispondere direttamente a questa richiesta...
poi Rigel ti ha dato tutti i suggerimenti del caso...
Beatrice
per altro anche le regole del forum non mi fanno disporre di autorizzazioni sufficienti a rispondere direttamente a questa richiesta...
poi Rigel ti ha dato tutti i suggerimenti del caso...
Beatrice
beatrice ti ho inviato un mess pv ti e arrivato ?
Scusami eh, il limite io e Rigel te l'abbiamo praticamente risolto. Non ci sono limiti notevoli da applicare, solo semplificazioni asintotiche.
Quelli proposti da rigel NON sono limiti notevoli, ma stime asintotiche ed un teorema sugli ordini di infinito, ovvero tutti gli attrezzi per risolvere questo limite.
Se ancora non sei riuscito a capire come procedere dopo tutto quello che ti abbiamo scritto, faresti meglio a riguardare tutta la teoria dei limiti.
Quelli proposti da rigel NON sono limiti notevoli, ma stime asintotiche ed un teorema sugli ordini di infinito, ovvero tutti gli attrezzi per risolvere questo limite.
Se ancora non sei riuscito a capire come procedere dopo tutto quello che ti abbiamo scritto, faresti meglio a riguardare tutta la teoria dei limiti.
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