Limiti

[Hop Frog1]

Ho questi due limiti.
In entrambi i casi ho provato a razionalizzarli, ma torno a una forma indeterminata da cui non riesco a procedere.
Non ci è permesso usare de l Hopital.
come faccio?

$lim_(x->infty) sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2+x)$

$lim_(x->-infty) x*(x-sqrt(x^2-1))$

e poi in questo invece ho provato a usare il limite fondamentale
$lim_(x->0) log(x)*x=0$
moltiplicando per 2x/2x, ma rimane ancora una forma indeterminata:

$lim_(x->0) log(2x)/log(x)$

suggerimenti?

[Seneca1]

Per quanto riguarda il primo limite, hai provato a razionalizzare?

[stefano_89]

Per quanto riguarda il primo basta razionalizzare, forse hai sbagliato a svolgere i calcoli. prova a scrivere cosa hai fatto..

[Seneca1]

"stefano_89":Per quanto riguarda il primo basta razionalizzare, forse hai sbagliato a svolgere i calcoli. prova a scrivere cosa hai fatto..

Ma scusa, hai letto cosa ho scritto io?

[Hop Frog1]

si, ho razionalizzato, ma mi tornava una forma undeterminata, dunque:
$lim x->∞ sqrt(x^2+1)-sqrt(x^2+x) $
quindi moltiplico per: $(sqrt(x^2+1)+sqrt(x^2+x))/(sqrt(x^2+1)+sqrt(x^2+x))$

e viene:
$(x^2+1-x^2-x)/(sqrt(x^2+1)+sqrt(x^2+x))$
x^2 si semplifica:
$(1-x)/(sqrt(x^2+1)+sqrt(x^2+x))$
che è forma indeterminata $-oo/+oo$

[strangolatoremancino]

prova a raccogiere $x$ sia al numeratore che al denominatore

[misanino]

"Hop Frog":si, ho razionalizzato, ma mi tornava una forma undeterminata, dunque:

$(1-x)/(sqrt(x^2+1)+sqrt(x^2+x))$
che è forma indeterminata $-oo/+oo$

Ma puoi cavartela perchè:

$(1-x)/(sqrt(x^2+1)+sqrt(x^2+x))=(1-x)/(sqrt(x^2(1+1/x^2))+sqrt(x^2(1+x/x^2)))=$
$=(1-x)/(|x|sqrt(1+1/x^2)+|x|sqrt(1+x/x^2))=(1-x)/(|x|(sqrt(1+1/x^2)+sqrt(1+1/x)))$
Ora se fai il limite per $x$ che tende ad infinito puoi togliere il modulo (perchè infinito è maggiore di 0) e le radici quadrate tendono a 1.
Perciò:
$\lim_{x \to \infty}(1-x)/(sqrt(x^2+1)+sqrt(x^2+x))=\lim_{x \to \infty}(1-x)/(|x|(sqrt(1+1/x^2)+sqrt(1+1/x)))=$
$=\lim_{x \to \infty}(1-x)/(x(sqrt(1+1/x^2)+sqrt(1+1/x)))=\lim_{x \to \infty}(1-x)/(2x)=\lim_{x \to \infty}-x/(2x)=-1/2$