Limiti.

[ifra.1]

Ciao a tutti!Ho un po' di problemi con questi due limiti.Potreste darmi uno spunto da cui partire?
$lim_{x \to \+infty}(1+(x^2+4*x)/(x^5+1))^(x^a)$

$lim_(x->0^+)(sinx)/(x^a)*sin(1/x)$

al variare di a.
Vi ringrazio.

[Luc@s]

prova con gli sviluppi al primo ordine.

[Seneca1]

"ifra.":Ciao a tutti!Ho un po' di problemi con questi due limiti.Potreste darmi uno spunto da cui partire?
$lim_{x \to \+infty}(1+(x^2+4*x)/(x^5+1))^(x^a)$

$lim_(x->0^+)(sinx)/(x^a)*sin(1/x)$

al variare di a.
Vi ringrazio.

$lim_{x \to \+infty}(1+(x^2+4*x)/(x^5+1))^(x^a)$


Appurato che $(x^2+4x)/(x^5+1)$ va ad infinito come $1/x^3$

$(x^2+4x)/(x^5+1) \sim 1/x^3$

Credo sia lecito sostituire l'espressione asintotica... Quindi:

$lim_{x \to \+infty}(1+ 1/x^3)^(x^a)$

Applicando l'identità logaritmica:

$lim_{x \to \+infty} e^{x^a * ln( 1 + 1/x^3)}$

$1/x = z$, per $ x -> +oo$ , $z -> 0^+$

$lim_{z \to 0^+} e^{ln( 1 + z^3)/(z^a)}$


Ora puoi distinguere i tre casi... $a = 3$, $a > 3$, $a < 3$

Il limite può essere $1$, $e$ o $oo$.

[ifra.1]

Grazie mille!Non avevo proprio pensato di risolverla in questo modo!

[ifra.1]

Scusate, mi è venuto un "dubbio": senza l'asintoticità si poteva risolvere?