Limiti
salve a tutti..qualcuno sa come risolvere limiti del tipo: $\lim_{x \to \infty} \frac{log(ax)^log(bx) -log(cx)^log(dx)}{log(ex)^log(fx) -log(gx)^log(hx)}$ con a,b,c,...h costanti positive
Risposte
Anzitutto: possiamo calcolare solo il limite a $+oo$.
L'esponente è sull'argomento o su tutto l'addendo?
L'esponente è sull'argomento o su tutto l'addendo?
troppo facile solo sull'argomento..è su tutto l'addendo
I calcoli sono palesemente noiosi e tediosi, ma l'hint da poter dare è il seguente:
1) Scriviamo $log(ax)^(log(bx))=e^(log(bx)loglog(ax))$
2) Raccogliamo al numeratore ed al denominatore i due valori più grandi di $e^(log(betax)loglog(alphax))$
Da qui avremo due limiti da calcolare e poi moltiplicare. Con tutta probabilità il tutto o va a zero oppure a $+oo$ oppure $-oo$. I conti, ahimè, sono davvero troppi per me
1) Scriviamo $log(ax)^(log(bx))=e^(log(bx)loglog(ax))$
2) Raccogliamo al numeratore ed al denominatore i due valori più grandi di $e^(log(betax)loglog(alphax))$
Da qui avremo due limiti da calcolare e poi moltiplicare. Con tutta probabilità il tutto o va a zero oppure a $+oo$ oppure $-oo$. I conti, ahimè, sono davvero troppi per me
... mi avventuro in una questione quasi improponibile ...
la mia sensazione è che il limite sia 1, ma solo per un motivo che sto per dire, però premetto che non me la sento di avventurarmi in ulteriori calcoli, e la conclusione è tutt'altro che rigorosa...
l'unica cosa certa è che è possibile scrivere $log(alpha x)=log(alpha)+log(x)$ per ciascuna delle 8 espressioni presenti:
per x -> infinito, $log(alpha)$ è trascurabile, per cui si dovrebbe ottenere qualcosa come $lim_(x->+oo)\((logx)^(logx)-(logx)^(logx))/((logx)^(logx)-(logx)^(logx))$ , ..... ma il tutto è da prendere con le molle...!
ciao.
la mia sensazione è che il limite sia 1, ma solo per un motivo che sto per dire, però premetto che non me la sento di avventurarmi in ulteriori calcoli, e la conclusione è tutt'altro che rigorosa...
l'unica cosa certa è che è possibile scrivere $log(alpha x)=log(alpha)+log(x)$ per ciascuna delle 8 espressioni presenti:
per x -> infinito, $log(alpha)$ è trascurabile, per cui si dovrebbe ottenere qualcosa come $lim_(x->+oo)\((logx)^(logx)-(logx)^(logx))/((logx)^(logx)-(logx)^(logx))$ , ..... ma il tutto è da prendere con le molle...!
ciao.
Provo a fare quello che dice adaBTTLS, quindi ciascun pezzo sarebbe del tipo: $log(ax)^log(bx)=(logax)^(logb+logx)=(logax)^logb(logax)^logx$
$((logax)^logb(logax)^logx-(logcx)^logd(logcx)^logx)/((logex)^(logf)(logex)^logx-(loggx)^logh(loggx)^logx)=$
$=((loga+logx)^logb(loga+logx)^logx-(logc+logx)^logd(logc+logx)^logx)/((loge+logx)^(logf)(loge+logx)^logx-(logg+logx)^logh(logg+logx)^logx)=$
$=((alpha+logx)^beta(alpha+logx)^logx-(gamma+logx)^delta(gamma+logx)^logx)/((epsilon+logx)^zeta(epsilon+logx)^logx-(eta+logx)^theta(eta+logx)^logx)$
Mi sembra che se questa è la (una) strada corretta da questo punto in poi tutto dipende da quelle costanti che ho indicato con le lettere greche e che a priori si possano ottenere molti risultati al variare di quelle costanti (che variano tra $-infty$ e $+infty$).
$((logax)^logb(logax)^logx-(logcx)^logd(logcx)^logx)/((logex)^(logf)(logex)^logx-(loggx)^logh(loggx)^logx)=$
$=((loga+logx)^logb(loga+logx)^logx-(logc+logx)^logd(logc+logx)^logx)/((loge+logx)^(logf)(loge+logx)^logx-(logg+logx)^logh(logg+logx)^logx)=$
$=((alpha+logx)^beta(alpha+logx)^logx-(gamma+logx)^delta(gamma+logx)^logx)/((epsilon+logx)^zeta(epsilon+logx)^logx-(eta+logx)^theta(eta+logx)^logx)$
Mi sembra che se questa è la (una) strada corretta da questo punto in poi tutto dipende da quelle costanti che ho indicato con le lettere greche e che a priori si possano ottenere molti risultati al variare di quelle costanti (che variano tra $-infty$ e $+infty$).
...solo che ci va * e non + quando riscrivi le basi e "lavori con gli esponenti"... ciao.
ops...hai ragione...mi sono imputtanato facendo copia e incolla. ora lo correggo.
ci avevo già provato con questi metodi e il problema era che raccogliendo opportunamente le costanti del tipo $log(\alpha)$ si generavano espressioni come $(1+\frac{log(\alpha)}{log(x)})^log(x)+log(\beta)$ che complicavano ulteriormente il conto perchè generano esponenziali..in questo tipo di esercizi mi ci sono imbattuto facendo ripetizioni ad una ragazza d'ingegneria e siccome ricorrevano spesso limiti di questa forma speravo esistesse qualche trucchetto ad hoc..cmq grazie a tutti lo stesso
Azz...se sta roba la danno ad ingegneria bisogna assolutamente risolverla. Che figura ci facciamo...?:D
concordo pienamente..ce n'è un altro strano $lim_{x -> \infty} x((1+\frac{1}{x})^x - e)$
Ma questo è facile...con il vecchio Hospital applicato brutalmente.
Fa $-e/2$
Fa $-e/2$
Passaggi:
$limx((1+1/x)^x-e)$=$
$=lim1/(1/x)(e^(xln(1/x+1))-e)=$Hospital1
$=-lim(1+1/x)^xlim1/(1/x^2)(ln(1+1/x)-1/(x+1))=$Hospital2
$=-elim1/(-2/x^3)(-1/(x(x+1)^2))=-e/2$
$limx((1+1/x)^x-e)$=$
$=lim1/(1/x)(e^(xln(1/x+1))-e)=$Hospital1
$=-lim(1+1/x)^xlim1/(1/x^2)(ln(1+1/x)-1/(x+1))=$Hospital2
$=-elim1/(-2/x^3)(-1/(x(x+1)^2))=-e/2$
dannata pigrizia!!...grazzzzzzzie
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