Limiti
1) $lim_{x->0} ((x^5+x^4sen^2x)^(1/5)-x)/(e^x-(senx+cosx))$
Procedendo con gli sviluppi asintotici si ottiene al numeratore:
$x(1+senx)^(1/5) -x -> x+1/5 x^2 + o(x^2) -x -> 1/5 x^2 + o(x^2)$
Mentre al denominatore si ha:
$x+1+o(x) - (x+o(x)+1-x^2/2+o(x^2)) $
Ho sbagliato qualcosa al denominatore, perché il limite dovrebbe risultare 1/5?
2) $lim_{x->0} (e^(x/3) - (e^x/(1-x^2))^(1/3))/(2x^2)$
Con gli sviluppi asintotici mi crea perplessita $1-x^2$ messo a denominatore... lo devo considerare come se fosse asintotico ad 1, no?
3) $lim_{n} ( ((n+1)!)^(1/2) - (n!)^(1/2) )/ (n^(1/2))$
Come mi devo comportare quando ho a che fare con i fattoriali?
La formula di Stirling potrebbe tornarmi utile? inoltre, è vera la disuaguaglianza $1<=n!
Grazie ragazzi
Procedendo con gli sviluppi asintotici si ottiene al numeratore:
$x(1+senx)^(1/5) -x -> x+1/5 x^2 + o(x^2) -x -> 1/5 x^2 + o(x^2)$
Mentre al denominatore si ha:
$x+1+o(x) - (x+o(x)+1-x^2/2+o(x^2)) $
Ho sbagliato qualcosa al denominatore, perché il limite dovrebbe risultare 1/5?
2) $lim_{x->0} (e^(x/3) - (e^x/(1-x^2))^(1/3))/(2x^2)$
Con gli sviluppi asintotici mi crea perplessita $1-x^2$ messo a denominatore... lo devo considerare come se fosse asintotico ad 1, no?
3) $lim_{n} ( ((n+1)!)^(1/2) - (n!)^(1/2) )/ (n^(1/2))$
Come mi devo comportare quando ho a che fare con i fattoriali?
La formula di Stirling potrebbe tornarmi utile? inoltre, è vera la disuaguaglianza $1<=n!
Grazie ragazzi
Risposte
Per il limite 1 a denominatore il problema è che hai sviluppato troppi pochi termini dell'esponenziale e della funzione seno. Infatti, eseguite le dovute semplificazioni, ti rimane
$o(x)+x^2/2+o(x^2)=o(x)$
e quindi non sai l'ordine di infinitesimo del denominatore.
$o(x)+x^2/2+o(x^2)=o(x)$
e quindi non sai l'ordine di infinitesimo del denominatore.
quindi procedo con MacLaurin? non vedo altre soluzioni
2)
$\lim_{x\to 0 }\frac{e^(x/3)((1-x^2)^(1/3)-1)}{(1-x^2)^{1/3}2x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{(1+x/3)(\frac{-x^2}{9}-\frac{1}{3})}{2(1-\frac{x^2}{9})}=-\frac{1}{6}$
3)
$\lim_{n}\sqrt{(n-1)!}(\sqrt{n+1}-1)=\infty$
$\lim_{x\to 0 }\frac{e^(x/3)((1-x^2)^(1/3)-1)}{(1-x^2)^{1/3}2x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{(1+x/3)(\frac{-x^2}{9}-\frac{1}{3})}{2(1-\frac{x^2}{9})}=-\frac{1}{6}$
3)
$\lim_{n}\sqrt{(n-1)!}(\sqrt{n+1}-1)=\infty$
"Bob_inch":
quindi procedo con MacLaurin? non vedo altre soluzioni
Be' ma quello che hai fatto finora non era già utilizzare gli sviluppi di McLaurin? La strada che hai imboccato è corretta, devi solo tener conto di qualche termine in piú.
Potresti spiegarmi perfavore i passaggi?
Preferibilmente vorrei che mi aiutaste servendovi degli sviluppi asintotici..
Preferibilmente vorrei che mi aiutaste servendovi degli sviluppi asintotici..
"Cozza Taddeo":
[quote="Bob_inch"]quindi procedo con MacLaurin? non vedo altre soluzioni
Be' ma quello che hai fatto finora non era già utilizzare gli sviluppi di McLaurin? La strada che hai imboccato è corretta, devi solo tener conto di qualche termine in piú.[/quote]
Io mi ricavo tutto dai limiti notevoli, ad es:
$lim_{x->0} (senx)/x=1 -> senx $ asintotico ad $x -> senx = x + o(x)$
Gli sviluppi di McLaurin e i limiti notevoli sono la stessa cosa vista da due angolazioni leggermente diverse.
In ogni caso gli sviluppi di McLaurin delle funzioni presenti a denominatore li conosci? Credo di sí (comunque si trovano in qualunque libro di analisi)
Ad esempio si ha per l'esponenziale
$e^x ~=1+x+x^2/2+x^3/(3!)+x^4/(4!)+o(x^4)=sum_(k=0)^nx^k/(k!)+o(x^n)$
e per seno e coseno sono analoghi.
Tu, nel tentativo di calcolo del limite, hai considerato solo i primi due termini ma ciò non è sufficiente poiché questi si elidono e ti lasciano con un $o(x)$ tra le mani che nulla ti dice sulla velocità di convergenza a zero del denominatore.
Quindi devi riprendere gli sviluppi e sostituirli nel limite tenendo conto di qualche termine in piú.
Quanti?
A priori non c'è una regola per stabilirlo, conta molto l'esperienza. Tieni presente che se tieni tanti termini i calcoli iniziali risultano inizialmente piú complicati però hai piú probabilità che i vari addendi non si elidano a vicenda.
Viceversa se tieni pochi termini (come hai fatto ora) i calcoli risultano piú semplici ma il rischio è di ritrovarsi solo con un o piccolo e di dover ripartire tenendo conto di piú termini.
Quando avrai fatto un bel po' di esercizi dovresti riuscire a stimare il numero giusto di termini da utilizzare con buona approssimazione.
In ogni caso gli sviluppi di McLaurin delle funzioni presenti a denominatore li conosci? Credo di sí (comunque si trovano in qualunque libro di analisi)
Ad esempio si ha per l'esponenziale
$e^x ~=1+x+x^2/2+x^3/(3!)+x^4/(4!)+o(x^4)=sum_(k=0)^nx^k/(k!)+o(x^n)$
e per seno e coseno sono analoghi.
Tu, nel tentativo di calcolo del limite, hai considerato solo i primi due termini ma ciò non è sufficiente poiché questi si elidono e ti lasciano con un $o(x)$ tra le mani che nulla ti dice sulla velocità di convergenza a zero del denominatore.
Quindi devi riprendere gli sviluppi e sostituirli nel limite tenendo conto di qualche termine in piú.
Quanti?
A priori non c'è una regola per stabilirlo, conta molto l'esperienza. Tieni presente che se tieni tanti termini i calcoli iniziali risultano inizialmente piú complicati però hai piú probabilità che i vari addendi non si elidano a vicenda.
Viceversa se tieni pochi termini (come hai fatto ora) i calcoli risultano piú semplici ma il rischio è di ritrovarsi solo con un o piccolo e di dover ripartire tenendo conto di piú termini.
Quando avrai fatto un bel po' di esercizi dovresti riuscire a stimare il numero giusto di termini da utilizzare con buona approssimazione.
Grazie mille, li sto studiando proprio adesso...
Quando ho a che fare con fattoriali come procedo?
Li riconduco al limite notevole noto, oppure... ?
Quando ho a che fare con fattoriali come procedo?
Li riconduco al limite notevole noto, oppure... ?
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