Limiti

[twintwin-votailprof]

In vista dell'esame continuo a tartassarvi un altro po' stavolta sui limiti.

allora, sui seguenti limiti non riesco ad andare avanti:

$lim_(n->+oo) (5(n+1)^4-(n+1)^5+n^5)/(n^3+1)$

Qui arrivo ad estrarre $(n+1)^5$ ma infondo ho $n^5/(n+1)^5$ e non so come andare avanti.

poi

$lim_(n->oo) (n^7-7^n)/(n^3+7^(n+1))$

e infine

$lim_n->oo (5^n)(n^2)-(6^n)/n$

questo derive mi dice perfino che è senza soluzione...

Grazie in anticipo per ogni aiuto ^^.

[gugo82]

"Argos86":In vista dell'esame continuo a tartassarvi un altro po' stavolta sui limiti.

allora, sui seguenti limiti non riesco ad andare avanti:

$lim_(n->+oo) (5(n+1)^4-(n+1)^5+n^5)/(n^3+1)$

Qui arrivo ad estrarre $(n+1)^5$ ma infondo ho $n^5/(n+1)^5$ e non so come andare avanti.

Sviluppare le potenze non è sempre un male... Prova a semplificare il numeratore.

"Argos86":poi

$lim_(n->oo) (n^7-7^n)/(n^3+7^(n+1))$

Metti in evidenza $7^n$ al numeratore ed al denominatore e semplifica.

"Argos86":e infine

$lim_(n->oo) (5^n)(n^2)-(6^n)/n$

questo derive mi dice perfino che è senza soluzione...

Grazie in anticipo per ogni aiuto ^^.

Metti in evidenza $6^n/n$ ed usa il limite fondamentale $lim_(xrarr 0)(a^x-1)/(x)=ln(a)$.
Per non essere considerato troppo cattivo (:twisted:) di questo esercizio ti scrivo pure i passaggi:

$lim_(n) 5^n n^2-6^n/n=lim_(n)6^n/n*((5/6)^n n^3-1)/((5/6)^n n^3)*(5/6)^n n^3=ln(5/6)*lim_(n)5^n n^2=-oo$.

Buono studio.

[fu^2]

1. $lim_(n->+oo)(5(n+1)^4-(n+1)^5+n^5)/(n^3+1)=lim_(n->+oo)(5n^4+20n^3+o(n^2)-n^5-5n^4-10n^3+o(n^2)+n^5)/(n^3+1)=
$lim_(n->+oo)(10n^3+o(n^2))/(n^3(1+1/n^3))=10$

2. tieni presente che l'esponenziale ha un infinito più grande della potenza, quindi puoi scrivere benissimo
$lim_(n->oo) (n^7-7^n)/(n^3+7^(n+1))=lim_(nto+oo)(-7^n+o(n^7))/(7*7^n+o(n^3))=-1/7

3.
$lim_(n->oo )(5^n)(n^2)-(6^n)/n=lim_(nto+oo)(-6^n+5^(n)n^3)/n$ come ho detto prima l'esponenziale ha un infinito più potente della potenza, quindi tende a $-oo$

edit spero di non aver fatto casino di uso improrpio di o piccoli... devo ancora aquisirli totalmente, che li ho appena fatti...

[twintwin-votailprof]

Grazie ad entrambi ^^

ma per o cosa intendi? (giusto per curiosità)

[twintwin-votailprof]

"fu^2":1. $lim_(n->+oo)(5(n+1)^4-(n+1)^5+n^5)/(n^3+1)=lim_(n->+oo)(5n^4+20n^3+o(n^2)-n^5-5n^4-10n^3+o(n^2)+n^5)/(n^3+1)=
$lim_(n->+oo)(10n^3+o(n^2))/(n^3(1+1/n^3))=10$

2. tieni presente che l'esponenziale ha un infinito più grande della potenza, quindi puoi scrivere benissimo
$lim_(n->oo) (n^7-7^n)/(n^3+7^(n+1))=lim_(nto+oo)(-7^n+o(n^7))/(7*7^n+o(n^3))=-1/7

3.
$lim_(n->oo )(5^n)(n^2)-(6^n)/n=lim_(nto+oo)(-6^n+5^(n)n^3)/n$ come ho detto prima l'esponenziale ha un infinito più potente della potenza, quindi tende a $-oo$

edit spero di non aver fatto casino di uso improrpio di o piccoli... devo ancora aquisirli totalmente, che li ho appena fatti...

la tecnica degli o piccoli non la conosco ne posso usarla all'esame ^^.. grazie cmq dell'aiuto.

Metti in evidenza 7n al numeratore ed al denominatore e semplifica.

Il problema è che non puoi semplificare 7^n con 7^n x 7 senza estrarlo dal limite.
Se lo estrai ti viene fuori

$lim_(n->oo) (n^7/7^n -1)/(n^3/7^n+1*7/7^n)$

come andare avanti da qui?

[fu^2]

$n^7/7^n->0$, $n^3/7^n->0$

quindi il limite si riduce a $lim_(nto+oo)-1/(7/7^n)=lim_(nto+oo)-7^n/7=-oo


dimostrazione del fatto che
$n^k/7^n=0$

lemma (criterio del rapporto): data una successione $a_n$ allora se $lim_(nto+oo)a_(n+1)/a_n=l$ con $0
chiamo $n^k/7^n=a_n$ quindi $a_(n+1)=(n+1)^k/7^(n+1)

quindi risolvo il limite $lim_(nto+oo)(n+1)^k/7^(n+1)*7^n/n^k=lim_(nto+oo)1/7(n+1)^k/n^k=1/7.

così è meglio?


ps gli o piccoli sono un modo di scrivere gli infinitesimali di ordine inferiore di cui, durante il calcolo del limute, te ne puoi fregare.

$o(n)=1/n,1/n^2,1/n^3$ecc...

capito?