Limiti

[G.D.5]

Quando è che è possibile fare questo scambio di limite

$lim_{x to x_0}lim_{y to y_0}f(x,y)=lim_{y to y_0}lim_{x to x_0}f(x,y)$

Cortesemente, potreste anche spiegarmi perchè?

P.S.: scrivere $lim_{x to x_0}lim_{y to y_0}f(x,y)$ è lo stesso che scrivere $lim_{(x to x_0),(y to y_0):}f(x,y)$?
P.P.S.: scrivere $lim_{x to x_0}lim_{y to y_0}f(x,y)$ è lo stesso che scrivere $lim_{x to x_0, y to y_0}f(x,y)$?

[raff5184]

"WiZaRd":Quando è che è possibile fare questo scambio di limite

$lim_{x to x_0}lim_{y to y_0}f(x,y)=lim_{y to y_0}lim_{x to x_0}f(x,y)$

Sempre, perché puoi studiare l'andamente della funzione di 2 variabili (o in generale di n variabili) rieptto alla sola x indipendentemente dalla y e viceversa

"WiZaRd":
Cortesemente, potreste anche spiegarmi perchè?

P.S.: scrivere $lim_{x to x_0}lim_{y to y_0}f(x,y)$ è lo stesso che scrivere $lim_{(x to x_0),(y to y_0):}f(x,y)$?

è la stessa cosa, è solo un formalismo. é come scrivere la derivata così: $f'(x)$ oppure così$(df(x))/(dx)$ o la divisione: $4:5$ oppure $4/5$

"WiZaRd":
P.P.S.: scrivere $lim_{x to x_0}lim_{y to y_0}f(x,y)$ è lo stesso che scrivere $lim_{x to x_0, y to y_0}f(x,y)$?

stesssa risposta di prima. Ci sono diversi modi di scrivere la stessa cosa, cioè "limite della funzione f(x,y) che tende al punto $(x_0, y_0)$"

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"raff5184":[quote="WiZaRd"]Quando è che è possibile fare questo scambio di limite

$lim_{x to x_0}lim_{y to y_0}f(x,y)=lim_{y to y_0}lim_{x to x_0}f(x,y)$

Sempre, perché puoi studiare l'andamente della funzione di 2 variabili (o in generale di n variabili) rispetto alla sola x indipendentemente dalla y e viceversa
[/quote]

Non condivido: considera la funzione $f(x,y)=(x+y)/(x+2y)$ e fai (se siamo d'accordo sui passaggi):

$\lim_{x \to 0} (\lim_{y \to 0} f(x,y)) = \lim_{x \to 0} (x/x) = 1$

$\lim_{y \to 0} (\lim_{x \to 0} f(x,y)) = \lim_{y \to 0} (y/(2y)) = 1/2$

Come sempre Wizard fa delle domande molto intelligenti

Io non so rispondere. Sicuramente puoi fare lo scambio quando il limite per $(x,y) \to (x_0,y_0)$ esiste, ma il viceversa non credo proprio che valga.

[raff5184]

Si è vero, ho detto una c....a, pardon

"Martino":
Come sempre Wizard fa delle domande molto intelligenti

nn lo metto in dubbio

[zorn1]

Quella che hai scritto in realtà è una condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza di $lim_((x,y)to(x_0,y_0))f(x,y)$.

In generale l'uguaglianza non vale, per esempio per la funzione $f(x,y)=xsin(1/y)$, infatti non esiste $lim_(xto0)lim_(yto0)xsin(1/y)$ non esistendo $lim_(yto0)xsin(1/y)$, mentre $lim_(yto0)lim_(xto0)xsin(1/y)=0$ essendo $lim_(xto0)xsin(1/y)=0$

[G.D.5]

Ok.
Grazie a tutti.