Limiti

[Sk_Anonymous]

Risolvere senza applicare il teorema di Hospital i seguenti limiti:

1) $lim_(x->0)(1+sinx)^(1/x)$

2) $lim_(x->0)(sqrtcosx-1)/(sen2x^2)$

3) $lim_nrootn((2^n+n^5)/(5^n-n^2))$

4) $lim_n(sqrt((n+1)!)-sqrt(n!))/sqrtn$

5) $lim_n((n+ln^2n)/n)^(1/lnn)

[Kroldar]

"Ainéias":
2) $lim_(x->0) (sqrtcosx-1)/(sen2x^2) $

$lim_(x->0) (sqrtcosx-1)/(sen2x^2) = lim_(x->0) ((sqrtcosx-1) (sqrtcosx+1) 2x^2) / ((sen2x^2) (sqrtcosx+1) 2x^2) = lim_(x->0) -((1-cosx) 2x^2) / ((sen2x^2) (sqrtcosx+1) 2x^2) = -1/8$

[Sk_Anonymous]

"Kroldar":[quote="Ainéias"]
2) $lim_(x->0) (sqrtcosx-1)/(sen2x^2) $

$lim_(x->0) (sqrtcosx-1)/(sen2x^2) = lim_(x->0) ((sqrtcosx-1) (sqrtcosx+1) 2x^2) / ((sen2x^2) (sqrtcosx+1) 2x^2) = lim_(x->0) -((1-cosx) 2x^2) / ((sen2x^2) (sqrtcosx+1) 2x^2) = -1/8$[/quote]

da dove spunta l'8?

[Kawashita]

1) $lim_(x->0)(1+sinx)^(1/x)$ =

$lim_(x->0)(1+sinx)^((1/(senx))((senx)/x))=e$

[_Tipper]

Ma per il terzo, il quarto e il quinto la $n$ a cosa tende? All'infinito o a zero?

[Sk_Anonymous]

"Tipper":Ma per il terzo, il quarto e il quinto la $n$ a cosa tende? All'infinito o a zero?

$infty$

[_Tipper]

"Ainéias":3) $lim_nrootn((2^n+n^5)/(5^n-n^2))$

Penso tenda all'infinito, in questo caso diventa:

$\lim_{n \rightarrow +\infty} \root{n}{\frac{2^n(1+\frac{n^5}{2^n})}{5^n(1-\frac{n^2}{5^n})}} = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{2}{5} \root{n}{\frac{1+\frac{n^5}{2^n}}{1-\frac{n^2}{5^n}}} = \frac{2}{5} \frac{1}{1} = \frac{2}{5}$.

[Kawashita]

da dove spunta l'8?

come ha fatto giustamente Kroldar nell'ultimo passaggio ottieni:
$lim_(x->0) -((1-cosx) 2x^2) / ((sen2x^2) (sqrtcosx+1) 2x^2) $
con l'utilizzo degli opportuni limiti notevoli, ovvero:
$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$ e $lim_(x->0)(sinx)/x=1$
ottieni:
$lim_(x->0)-(1)/(4(sqrtcosx+1))$
e poichè poichè cosx=1 per x=0
$-1/(4*(1+1))=-1/8$

[_Tipper]

"Ainéias":4) $lim_n(sqrt((n+1)!)-sqrt(n!))/sqrtn$

Moltiplicando e divindendo per $\sqrt{(n+1)!} + \sqrt{n!}$ l'argomento del limite diventa:

$\frac{(n+1)! - n!}{\sqrt{n}(\sqrt{(n+1)!} + \sqrt{n!})} = \frac{n!(n+1-1)}{\sqrt{n}(\sqrt{(n+1)!} + \sqrt{n!})} = \frac{n! \sqrt{n}}{(\sqrt{(n+1)!} + \sqrt{n!})}$

Usando l'approssimazione di Stirling dovrebbe venire.