Limiti
Se ho ben capito, anche il concetto di "limite" è un concetto topologico. Ad esempio, assegnata una successione avente un certo codominio con la topologia euclidea, se cambio la topologia sul codominio cambia anche il limite (che magari può non esistere più).
Ho provato a costruirmi un esempio: $f:NN to RR$,$n to 1/n$. Se considero la topologia euclidea per il codominio, allora tale successione ha come limite $0$. Se invece provo a cambiare topologia, magari la topologia discreta, trovo che l'insieme ${0}$ è un aperto e quindi è un intorno di $0$, ma per tale intorno non esiste un indice $nu$ oltre il quale i valori della successione sono contenuti nell'intorno e quindi $0$ non è più il limite di quella successione.
Può andare?
Ho provato a costruirmi un esempio: $f:NN to RR$,$n to 1/n$. Se considero la topologia euclidea per il codominio, allora tale successione ha come limite $0$. Se invece provo a cambiare topologia, magari la topologia discreta, trovo che l'insieme ${0}$ è un aperto e quindi è un intorno di $0$, ma per tale intorno non esiste un indice $nu$ oltre il quale i valori della successione sono contenuti nell'intorno e quindi $0$ non è più il limite di quella successione.
Può andare?
Risposte
"Kroldar":
Può andare?
corretto
nella topologia discreta tutte e sole successioni convergenti sono quelle definitivamente costanti
cioè t.c. esiste $x_0$ (elemento dello spazio topologico) ed esiste $\bar n \in NN$ t.c. $x_n = x_0$ per ogni $n > \bar n$
esempio: su un insieme finito qualunque metrica induce la topologia discreta
quindi vale quanto sopra
da ciò si può anche vedere (non è il solo modo, naturalmente, né il più veloce), che ogni funzione definita su uno spazio metrico finito è continua
basta usare la caratterizzazione mediante successioni
se $x_n -> x_0$, allora $x_n$ è definitivamente costante e quindi anche $f(x_n)$ lo è
ma allora $f(x_n) -> f(x_0)$ in quanto successione definitivamente costante (fatto che vale per ogni spazio topologico)
quindi se:
"... questa funzione manda capre in sedie?"
per citare Maxos,
questa funzione derivabile non è (diffcile mettere una struttura lineare su un insieme di sedie)
però è continua (per lo meno, se si usano topologie metrizzabili, ovvero indotte da una metrica: tanto, saranno discrete...)
ultima cosa: c'è l'idea di "spazio di convergenza", che è una estensione dell'idea di spazio topologico
l'idea di fondo è: cosa mi serve per parlare di "concetti topologici"?
mi occorre e basta sapere quali successioni convergono e a cosa (anche se negli spazi topologici le successioni non sono sufficienti per caratterizzare la topologia)
Molto interessante... mi fa piacere quando qualcuno non si limita alla sola risposta secca ma spende parole in più per ampliare certi concetti.
quel "definitivamente" è giusto un rafforzativo, nel senso che poteva anche essere omesso, oppure assume un ben preciso significato?
Questo non mi è chiaro. Se io conosco quali successioni convergono e a cosa... che cosa posso conoscere? Tutte le proprietà di uno spazio topologico?
"Fioravante Patrone":
nella topologia discreta tutte e sole successioni convergenti sono quelle definitivamente costanti
quel "definitivamente" è giusto un rafforzativo, nel senso che poteva anche essere omesso, oppure assume un ben preciso significato?
"Fioravante Patrone":
ultima cosa: c'è l'idea di "spazio di convergenza", che è una estensione dell'idea di spazio topologico
l'idea di fondo è: cosa mi serve per parlare di "concetti topologici"?
mi occorre e basta sapere quali successioni convergono e a cosa (anche se negli spazi topologici le successioni non sono sufficienti per caratterizzare la topologia)
Questo non mi è chiaro. Se io conosco quali successioni convergono e a cosa... che cosa posso conoscere? Tutte le proprietà di uno spazio topologico?
"Kroldar":
Molto interessante... mi fa piacere quando qualcuno non si limita alla sola risposta secca ma spende parole in più per ampliare certi concetti.
beh,
- a me piace 'sta robba
- anche se dà dipendenza...
- sono un prof "sempre"
- tanto è vero che sto "restaurando" delle mia vecchie dispense di analisi I (erano scritte in Chiwriter, e le sto facendo "migrare" in TeX). Quando avrò finito (2000 + epsilon grande a piacere) le metterò in rete
"Kroldar":
quel "definitivamente" è giusto un rafforzativo, nel senso che poteva anche essere omesso, oppure assume un ben preciso significato?
no, ha un ben preciso significato, che avevo indicato prima e che ricopio qui:
"nella topologia discreta tutte e SOLE le successioni convergenti sono quelle definitivamente costanti
cioè t.c. esiste $x_0$ (elemento dello spazio topologico) ed esiste $\bar n \in NN$ t.c. $x_n = x_0$ per ogni $n > \bar n$"
come ho sottolineato con le maiuscole, mi serve per poter dire che altre non ce ne sono
osservo che è "ovvio" che non ha nessuna importanza, dal punto di vista dei limiti, della convergenza, cosa fanno, che so, i primi 1.000.000.000.000 termini della successione (non so se questo renda felice carlo23)
"Kroldar":
[quote="Fioravante Patrone"]
ultima cosa: c'è l'idea di "spazio di convergenza", che è una estensione dell'idea di spazio topologico
l'idea di fondo è: cosa mi serve per parlare di "concetti topologici"?
mi occorre e basta sapere quali successioni convergono e a cosa (anche se negli spazi topologici le successioni non sono sufficienti per caratterizzare la topologia)
Questo non mi è chiaro. Se io conosco quali successioni convergono e a cosa... che cosa posso conoscere? Tutte le proprietà di uno spazio topologico?[/quote]
la topologia si può definire in tanti modi:
- dire chi sono gli aperti
- diree chi sono i chiusi
- dire, dato un sottoinsieme, che è la sua chiusura
- dire chi sono gli intorni dei punti
...
- dire chi sono le successioni* convergenti
l'ultimo punto QUASI funge. In realtà le successioni non sono sufficienti per uno spazio topologico generale. Ma comunque l'idea è quella. Poi, tecnicamente, bisogna usare le successioni generelizzate (o "reti", vedi "convergenza di Moore-Smith) o i loro parenti francesi, ovvero i filtri
Detto a parole quel "definitivamente" vuol dire che la successione diventa costante da un certo punto in poi? Tutt'altra cosa rispetto alle successioni costanti...
Inizialmente avevo ignorato quell'avverbio e consideravo solo successioni costanti.
Inizialmente avevo ignorato quell'avverbio e consideravo solo successioni costanti.
Più in gererale, una successione gode definitivamente della proporetà $P$ se questa proprietà è soddisfatta da un certo indice in poi. Tipo: una sucecssione è definitivamente a termini positivi, è definitivamente crescente, etc.
Si tratta, come l'ho scritta sopra, di una def un po' "loose", ma per me più che di una def in senso stretto e matematico, si tratta (ed è quello che importa) di una idea, di un principio, che poi si sostanzierà in definizioni formali a seconda dei casi, dei contesti, etc.
Si tratta, come l'ho scritta sopra, di una def un po' "loose", ma per me più che di una def in senso stretto e matematico, si tratta (ed è quello che importa) di una idea, di un principio, che poi si sostanzierà in definizioni formali a seconda dei casi, dei contesti, etc.
Per Fioravante Patrone
Vorrei sapere quale programma utilizza per i grafici da inserire nelle dispense...
Vorrei sapere quale programma utilizza per i grafici da inserire nelle dispense...
(mi dai dei lei? o ti rivolgi a me come se tu parlassi con qualcun altro?)
preistoria...
se ricordo erano grafici fatti con turbo pascal (credo versione 3)
ma la parte "visiva" non era un granché...
ora cerco di fare tutto all'interno di LaTeX, con "picture" e con tanta pazienza, ma più che altro di grafici di funzioni ne faccio ormai pochi, avendo "traslocato" dall'analisi verso lidi più ameni
preistoria...
se ricordo erano grafici fatti con turbo pascal (credo versione 3)
ma la parte "visiva" non era un granché...
ora cerco di fare tutto all'interno di LaTeX, con "picture" e con tanta pazienza, ma più che altro di grafici di funzioni ne faccio ormai pochi, avendo "traslocato" dall'analisi verso lidi più ameni
Visto che si parlava di dispense di analisi I, ipotizzando di ottenere un risultato finale solido non solo dal punto di vista degli argomenti ma anche dal punto di vista della resa grafica, io opterei per Metapost o Asymptote, non li conosco ancora bene, ma visti alcuni esempi...
Per il "lei" vedrò di rimediare
Per il "lei" vedrò di rimediare
Se le sta scrivendo in latex, e' quasi d'obbligo xfig.
Qualche esempio
http://melusine.eu.org/syracuse/metapost/galeries/
http://zoonek.free.fr/LaTeX/Metapost/metapost.html
http://asymptote.sourceforge.net/gallery/
http://melusine.eu.org/syracuse/metapost/galeries/
http://zoonek.free.fr/LaTeX/Metapost/metapost.html
http://asymptote.sourceforge.net/gallery/
OT (sorry...)
@Celine
ho provato a vedere METAPOST
dopo un po' di fallimenti vari, ho trovato myfpic:
http://comp.uark.edu/~luecking/tex/mfpic.html
mi pare funga. Almeno sono riuscito a riprodurre gli esempi che vengono proposti (io uso MiKTeX e WinEdt).
@Celine
ho provato a vedere METAPOST
dopo un po' di fallimenti vari, ho trovato myfpic:
http://comp.uark.edu/~luecking/tex/mfpic.html
mi pare funga. Almeno sono riuscito a riprodurre gli esempi che vengono proposti (io uso MiKTeX e WinEdt).
"Fioravante Patrone":
...........
- tanto è vero che sto "restaurando" delle mia vecchie dispense di analisi I (erano scritte in Chiwriter, e le sto facendo "migrare" in TeX). Quando avrò finito (2000 + epsilon grande a piacere) le metterò in rete
Oddio che mi hai ricordato!!!!! Il chiwriter! Ci ho scritto la mia tesi con quel programma! Ricordo ancora quella grafica assurda, sfondo nero e caratteri verdi, da presbiopìa giovanile! Ahahahaahah
non era male!
io ho usato il chiwriter 3 e quello 4
il mio era a sfondo blu con caratteri bianchi
mi piaceva il fatto di potermi definire piuttosto facilmente i caratteri che volevo
io ho usato il chiwriter 3 e quello 4
il mio era a sfondo blu con caratteri bianchi
mi piaceva il fatto di potermi definire piuttosto facilmente i caratteri che volevo
Ho rinunciato a trascrivere le dispense in (La)TeX.
Ne ho scannerizzato una stampa, che è disponibile qui:
http://dri.diptem.unige.it/index.htm
O, meglio:
http://dri.diptem.unige.it/index.htm#fuori_argomento
Siccome il pdf è di 10 MB, l'ho anche suddiviso nei cinque capitoli, disponibili separatemente, come l'indice delle dispense.
Ne ho scannerizzato una stampa, che è disponibile qui:
http://dri.diptem.unige.it/index.htm
O, meglio:
http://dri.diptem.unige.it/index.htm#fuori_argomento
Siccome il pdf è di 10 MB, l'ho anche suddiviso nei cinque capitoli, disponibili separatemente, come l'indice delle dispense.
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