Limiti
Qualcuno mi può aiutare a risolvere questi limiti?
Grazie
Sergio
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Sergio
)
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Grazie
Sergio
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Sergio
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Risposte
caro Sergio
per il calcolo dei limiti di una funzione di due variabili occorre procedere con qualche cautela poiché è un terreno assai più insidioso di quello percorso nel caso di una funzione di una sola variabile. In particolare è utile ricordarsi della definizione di limite in questo caso che è la seguente:
Sia f(x,y) una funzione definita in un campo A e sia (xo,yo) un punto interno ad A. La funzione f(x,y) ammette limite l per (x,y) tendente a (xo,yo) quando preso ad arbitrio un numero e>0 è possibile determinare un d>0 in modo che per tutti gli (x,y) di A che appartengono ad un intorno circolare centrato in (xo,yo) e di raggio d valga la disuguaglianza
|f(x,y) – l| < e
In modo analogo si dice che la funzione f(x,y) tende a infinito [+00 o –00] per (x,y) tendente a (xo,yo) quando preso ad arbitrio un numero M>0 è possibile determinare un d>0 in modo che per tutti gli (x,y) di A che appartengono ad un intorno circolare centrato in (xo,yo) e di raggio d valga la disuguaglianza
|f(x,y)| > M
E’ essenziale in entrambi i casi che la funzione sia definita in tutti i punti di un intorno circolare centrato in (xo,yo) e raggio d, e ciò significa che il limite di una funzione di due variabili [a differenza del caso della funzione ad una sola variabile] non può essere definito se (xo,yo) è un punto della frontiera di A.
In genere conviene [cosa sempre possibile mediante un opportuno cambio di variabili] fare in modo che il punto (xo,yo) coincida con l’origine [ossia x=y=0] e operare il passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari ponendo...
x= r cos (theta) y= r sin(theta) con r>0 e –pi < theta< = pi [1]
… e cercare poi il limite di f(r,theta) per r che tende a 0, controllando che questo sia lo stesso per qualunque valore di theta.
Ciò premesso esaminiamo la prima delle funzioni da te proposte…
(x^2*y-y^3)/(x^2+y^2) = y*(x^2-y^2)/ (x^2+y^2)= r*sin (theta)* r^2*[cos^2(theta)-sin^2(theta)]/r^2=
= r*sin(theta)* [cos^2(theta)-sin^2(theta)] [2]
E’ evidente che il limite per r che tende a 0 è 0 per qualunque valore assunto da theta.
Tralasciando per il momento la seconda veniamo alla terza…
(x^4+x*y^3)/sin(x^2+y^2)= x* (x^3+y^3)/sin (x^2+y ^2)= r*cos(theta)*r^3*[cos^3(theta)-sin^3(theta)]/sin(r^2)=
= r^2*[r^2/sin(r^2)]*cos(theta)*[cos^3(theta)-sin^3(theta)] [3]
Tenendo in conto che il termine r^2/sin(r^2) tende a 1 per r->0 si vede chiaramente che il limite cercato è 0 per qualunque valore assunto da theta.
Venendo ora alla quarta funzione, se applichiamo lo sviluppo della funzione cos(t) in serie di Taylor otteniamo da prima…
cos(x^2*y^2)= 1 – ½ * x^4*y^4+… [4]
da cui…
1-cos(x^2*y^2)= ½ * x^4*y^4-… [5]
Se operiamo la sostituzione di variabili la funzione diviene…
[1-cos(x^2*y^2)]/(x^2+y^2) = ½* x^4*y^4/(x^2+y^2)-… = ½ * r^8*cos^4(theta)*sin^4(theta)/r^2-…=
= ½*r^6*cos^4(theta)*sin^4(theta)-… [6]
E’ evidente anche in questo caso che il limite cercato è 0 per qualunque valore assunto da theta.
Venendo infine alla seconda funzione si osserva subito che, essendo definita nel semipiano in cui è y>1, il punto (0,1) è un punto di frontiera e pertanto il limite della funzione non esiste.
cordiali saluti!…
lupo grigio
per il calcolo dei limiti di una funzione di due variabili occorre procedere con qualche cautela poiché è un terreno assai più insidioso di quello percorso nel caso di una funzione di una sola variabile. In particolare è utile ricordarsi della definizione di limite in questo caso che è la seguente:
Sia f(x,y) una funzione definita in un campo A e sia (xo,yo) un punto interno ad A. La funzione f(x,y) ammette limite l per (x,y) tendente a (xo,yo) quando preso ad arbitrio un numero e>0 è possibile determinare un d>0 in modo che per tutti gli (x,y) di A che appartengono ad un intorno circolare centrato in (xo,yo) e di raggio d valga la disuguaglianza
|f(x,y) – l| < e
In modo analogo si dice che la funzione f(x,y) tende a infinito [+00 o –00] per (x,y) tendente a (xo,yo) quando preso ad arbitrio un numero M>0 è possibile determinare un d>0 in modo che per tutti gli (x,y) di A che appartengono ad un intorno circolare centrato in (xo,yo) e di raggio d valga la disuguaglianza
|f(x,y)| > M
E’ essenziale in entrambi i casi che la funzione sia definita in tutti i punti di un intorno circolare centrato in (xo,yo) e raggio d, e ciò significa che il limite di una funzione di due variabili [a differenza del caso della funzione ad una sola variabile] non può essere definito se (xo,yo) è un punto della frontiera di A.
In genere conviene [cosa sempre possibile mediante un opportuno cambio di variabili] fare in modo che il punto (xo,yo) coincida con l’origine [ossia x=y=0] e operare il passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari ponendo...
x= r cos (theta) y= r sin(theta) con r>0 e –pi < theta< = pi [1]
… e cercare poi il limite di f(r,theta) per r che tende a 0, controllando che questo sia lo stesso per qualunque valore di theta.
Ciò premesso esaminiamo la prima delle funzioni da te proposte…
(x^2*y-y^3)/(x^2+y^2) = y*(x^2-y^2)/ (x^2+y^2)= r*sin (theta)* r^2*[cos^2(theta)-sin^2(theta)]/r^2=
= r*sin(theta)* [cos^2(theta)-sin^2(theta)] [2]
E’ evidente che il limite per r che tende a 0 è 0 per qualunque valore assunto da theta.
Tralasciando per il momento la seconda veniamo alla terza…
(x^4+x*y^3)/sin(x^2+y^2)= x* (x^3+y^3)/sin (x^2+y ^2)= r*cos(theta)*r^3*[cos^3(theta)-sin^3(theta)]/sin(r^2)=
= r^2*[r^2/sin(r^2)]*cos(theta)*[cos^3(theta)-sin^3(theta)] [3]
Tenendo in conto che il termine r^2/sin(r^2) tende a 1 per r->0 si vede chiaramente che il limite cercato è 0 per qualunque valore assunto da theta.
Venendo ora alla quarta funzione, se applichiamo lo sviluppo della funzione cos(t) in serie di Taylor otteniamo da prima…
cos(x^2*y^2)= 1 – ½ * x^4*y^4+… [4]
da cui…
1-cos(x^2*y^2)= ½ * x^4*y^4-… [5]
Se operiamo la sostituzione di variabili la funzione diviene…
[1-cos(x^2*y^2)]/(x^2+y^2) = ½* x^4*y^4/(x^2+y^2)-… = ½ * r^8*cos^4(theta)*sin^4(theta)/r^2-…=
= ½*r^6*cos^4(theta)*sin^4(theta)-… [6]
E’ evidente anche in questo caso che il limite cercato è 0 per qualunque valore assunto da theta.
Venendo infine alla seconda funzione si osserva subito che, essendo definita nel semipiano in cui è y>1, il punto (0,1) è un punto di frontiera e pertanto il limite della funzione non esiste.
cordiali saluti!…
lupo grigio
Grazie Lupo Grigio )) grazie al tuo post credo di aver finalmente capito come poter risolvere questo tipo di limiti! ))
A lezione il prof. ci ha dato una "regola pratica" (secondo lui) per risolvere i limiti, era una cosa del tipo: il limite di f(x,y) per (x,y) che tende a (xo,yo) è uguale a l sse lim per r->0+ di |sup tra (0,2pi) di f(r*cos theta, r*sen theta) - l| = 0 (dove l è il valore presunto del limite da calcolare con non si sa quali altri modi
) ) Ti sembra una "regola pratica" ?! ) Molto meglio come mi hai spiegato tu! ))
Ancora grazie)
Sergio
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Sergio)
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)) grazie al tuo post credo di aver finalmente capito come poter risolvere questo tipo di limiti! ))A lezione il prof. ci ha dato una "regola pratica" (secondo lui) per risolvere i limiti, era una cosa del tipo: il limite di f(x,y) per (x,y) che tende a (xo,yo) è uguale a l sse lim per r->0+ di |sup tra (0,2pi) di f(r*cos theta, r*sen theta) - l| = 0 (dove l è il valore presunto del limite da calcolare con non si sa quali altri modi
) ) Ti sembra una "regola pratica" ?! ) Molto meglio come mi hai spiegato tu! )) Ancora grazie
)Sergio
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