Limiti (187889)

[Ansiaaaaa]

Ragazzi ho bisogno del vostro aiuto con questi limiti.

lim per n->+inf di [(n^3)/(5^(3n+2))-(3^(2n+1))/(n^2)


lim per n->+inf di [(3n+1)-V(9n^2 +n +5)]*[(7n^3 -2n +3)/(5n^3 + 3n^2 +1)+(2/5)^n]

Spero si capisca.
Grazie :)

[Studente Anonimo]

Purtroppo se non si imbrigliano le formule matematica fra
i tag math non si può essere certi di quello che scrivete!!

In questo caso, ad esempio, i limiti che devi risolvere sono:

1.

[math]\begin{aligned} \lim_{n\to +\infty} \frac{n^3}{5^{3n+2}} - \frac{3^{2n+1}}{n^2} \end{aligned}\\[/math]

2.

[math]\begin{aligned} \lim_{n\to +\infty} \left(3n+1-\sqrt{9n^2+n+5}\right)\left(\frac{7n^3-2n+3}{5n^3+3n^2+1} + \left(\frac{2}{5}\right)^n\right) \end{aligned}\\[/math]

oppure sono differenti?? Chiarito ciò, hai qualche idea?? :)

[Ansiaaaaa]

Sono così..
Il primo non so nemmeno da dove cominciare, il secondo mi viene
(5/12)[(7/5) + lim n->+inf di (2/5)^n]
Ma sono quasi sicura di aver sbagliato qualcosa.

[Studente Anonimo]

In entrambi i limiti ha un ruolo fondamentale la cosiddetta gerarchia degli infiniti.
Infatti, come dovresti ben sapere, in generale ogni tipologia di funzioni tende ad un
determinato limite con differente velocità (in soldoni quelle più rapide si avvicinano
ad un determinato "punto" prima delle altre).

Volendo "mettere in scala" le più comuni, per

[math]n\to \infty[/math]

si ha

[math]\log_a n \ll n^a \ll a^n \ll n! \ll n^n\\[/math]

più tutte le combinazioni.

Ora, applicando tali considerazioni ai limiti di cui sopra, si ha

1.

[math]\begin{aligned} \lim_{n\to +\infty} \frac{n^3}{5^{3n+2}} - \frac{3^{2n+1}}{n^2} \end{aligned} = 0 - \infty = - \infty \\[/math]

2.

[math]
\begin{aligned}
& \dots\,\lim_{n\to +\infty} \left(3n+1-\sqrt{9n^2+n+5}\right)\left(\frac{7n^3-2n+3}{5n^3+3n^2+1} + \left(\frac{2}{5}\right)^n\right)\\
& = \lim_{n\to +\infty} \left(3n+1-\sqrt{9n^2+n+5}\right)\left(\frac{7n^3}{5n^3} + 0\right)\\
& = \frac{7}{5}\lim_{n\to +\infty} \left((3n+1)-\sqrt{9n^2+n+5}\right)\frac{(3n+1)+\sqrt{9n^2+n+5}}{(3n+1)+\sqrt{9n^2+n+5}}\\
& = \frac{7}{5}\lim_{n\to +\infty} \frac{(3n+1)^2-\left(9n^2+n+5\right)}{3n+\sqrt{9n^2}}\\
& = \frac{7}{5}\lim_{n\to +\infty} \frac{5n-4}{6n}\\
& = \frac{7}{6}
\end{aligned}\\[/math]

dove nel secondo limite essendo presente una forma indeterminata
del tipo

[math]+\infty - \infty\\[/math]

nel primo fattore è tornato utile razionalizzare.

Spero sia un po' più chiaro. ;)

[Ansiaaaaa]

Scusami non ho capito perché (2/5)^n tende a 0

[Studente Anonimo]

Osserva per bene i seguenti grafici:



Riesci a risponderti da sola? :)