Limiti
Ciao, ho bisogno di un aiuto con questi due limiti:
$lim_{x to 0+}frac{x(1+2x)^(1/(x^2))+sin^(2)x - 5}{2xe^(2/x)+e^x +4}$
$lim_{x to +\infty}[2/(\pi)x^(2)((\pi)/2-arctan(1/x))+\sqrt{x^4+4/(\pi) x^3}-\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 +1}]$
ho bisogno di sapere che metodo devo applicare per svolgerli...i miei tentativi a svolgerli sono andati malissimo che sarà più veloce rifarli da capo
$lim_{x to 0+}frac{x(1+2x)^(1/(x^2))+sin^(2)x - 5}{2xe^(2/x)+e^x +4}$
$lim_{x to +\infty}[2/(\pi)x^(2)((\pi)/2-arctan(1/x))+\sqrt{x^4+4/(\pi) x^3}-\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 +1}]$
ho bisogno di sapere che metodo devo applicare per svolgerli...i miei tentativi a svolgerli sono andati malissimo che sarà più veloce rifarli da capo

Risposte
Ciao Liyus,
Nel primo limite per $x \to 0^+ $ gli unici termini che contano sono il primo a numeratore ed il primo a denominatore, per cui si ha:
$ \lim_{x to 0+}\frac{x(1+2x)^(1/(x^2))+sin^2 x - 5}{2xe^(2/x)+e^x +4} = \lim_{x to 0+}\frac{x(1+2x)^(1/(x^2))}{2xe^(2/x)} = \lim_{x to 0+}\frac{(1+2x)^(1/(x^2))}{2e^(2/x)} = $
$ = 1/2 \lim_{x to 0+} \frac{e^{(ln(1+2x))/x^2}}{e^(2/x)} = 1/2 \lim_{x to 0+} e^{(ln(1+2x))/x^2 - 2/x} = 1/2 \lim_{x to 0+} e^{2/x[(ln(1+2x))/(2x) - 1]} = 1/2 \lim_{x to 0+} e^{2/x[1 - x - 1]} = $
$ = 1/2 \lim_{x to 0+} e^{2/x[- x]} = 1/(2e^2) $
ove nello sviluppo in serie sono stati trascurati gli $ o$.
Nel secondo limite per $x \to +\infty $ invece utilizzerei direttamente lo sviluppo in serie di $ arctan(1/x) $ e della radice quadrata, per cui, sempre trascurando gli $o$, si ha:
$ \lim_{x to +\infty}[2/(\pi)x^2((\pi)/2-arctan(1/x))+\sqrt{x^4+4/(\pi) x^3}-\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 + 1}] = $
$ = \lim_{x to +\infty}[2/(\pi)x^2((\pi)/2-1/x) + x^2\sqrt{1+4/(\pi x)}-\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 + 1}] = $
$ = \lim_{x to +\infty}[x^2 - 2/(\pi) x + x^2\sqrt{1+4/(\pi x)}-\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 + 1}] = $
$ = \lim_{x to +\infty}[x^2 - 2/(\pi) x + x^2(1 + 2/(\pi x) - 2/(\pi^2 x^2)) -\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 + 1}] = $
$ = \lim_{x to +\infty}[x^2 - 2/(\pi) x + x^2 + 2/(\pi) x - 2/(\pi^2) -\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 + 1}] = $
$ = \lim_{x to +\infty}[2x^2 - 2/(\pi^2) -\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 + 1}] = $
$ = \lim_{x to +\infty}\frac{4\pi^4 x^4 + 2\pi^2 x^2 - 4\pi^2 x^2 - 2 - 4\pi^4 x^4}{\pi^2(2\pi^2 x^2 + 1)} = $
$ = \lim_{x to +\infty}\frac{- 2\pi^2 x^2 - 2}{2\pi^4 x^2 + \pi^2} = - 1/\pi^2 $
Nel primo limite per $x \to 0^+ $ gli unici termini che contano sono il primo a numeratore ed il primo a denominatore, per cui si ha:
$ \lim_{x to 0+}\frac{x(1+2x)^(1/(x^2))+sin^2 x - 5}{2xe^(2/x)+e^x +4} = \lim_{x to 0+}\frac{x(1+2x)^(1/(x^2))}{2xe^(2/x)} = \lim_{x to 0+}\frac{(1+2x)^(1/(x^2))}{2e^(2/x)} = $
$ = 1/2 \lim_{x to 0+} \frac{e^{(ln(1+2x))/x^2}}{e^(2/x)} = 1/2 \lim_{x to 0+} e^{(ln(1+2x))/x^2 - 2/x} = 1/2 \lim_{x to 0+} e^{2/x[(ln(1+2x))/(2x) - 1]} = 1/2 \lim_{x to 0+} e^{2/x[1 - x - 1]} = $
$ = 1/2 \lim_{x to 0+} e^{2/x[- x]} = 1/(2e^2) $
ove nello sviluppo in serie sono stati trascurati gli $ o$.
Nel secondo limite per $x \to +\infty $ invece utilizzerei direttamente lo sviluppo in serie di $ arctan(1/x) $ e della radice quadrata, per cui, sempre trascurando gli $o$, si ha:
$ \lim_{x to +\infty}[2/(\pi)x^2((\pi)/2-arctan(1/x))+\sqrt{x^4+4/(\pi) x^3}-\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 + 1}] = $
$ = \lim_{x to +\infty}[2/(\pi)x^2((\pi)/2-1/x) + x^2\sqrt{1+4/(\pi x)}-\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 + 1}] = $
$ = \lim_{x to +\infty}[x^2 - 2/(\pi) x + x^2\sqrt{1+4/(\pi x)}-\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 + 1}] = $
$ = \lim_{x to +\infty}[x^2 - 2/(\pi) x + x^2(1 + 2/(\pi x) - 2/(\pi^2 x^2)) -\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 + 1}] = $
$ = \lim_{x to +\infty}[x^2 - 2/(\pi) x + x^2 + 2/(\pi) x - 2/(\pi^2) -\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 + 1}] = $
$ = \lim_{x to +\infty}[2x^2 - 2/(\pi^2) -\frac{4\pi^2 x^4}{2\pi^2 x^2 + 1}] = $
$ = \lim_{x to +\infty}\frac{4\pi^4 x^4 + 2\pi^2 x^2 - 4\pi^2 x^2 - 2 - 4\pi^4 x^4}{\pi^2(2\pi^2 x^2 + 1)} = $
$ = \lim_{x to +\infty}\frac{- 2\pi^2 x^2 - 2}{2\pi^4 x^2 + \pi^2} = - 1/\pi^2 $
Grazie mille, avevo problemi a risolvere questi esercizi...è da una settimana che ci provo T_T