LIMITI

[TADY96]

buongiorno

$ limx->0 logx $

il risultato è meno infinito o no esite??? grazie in anticipo

a me verrebbe da dire che non esiste in quanto il limite destro e sinistro non coincido, infatti il limite destro da meno infinito mentre quello sinistro non esiste

grazie in anticipo

[Indrjo Dedej]

Scusa, ma scrivere \[\lim_{x \to 0^-} \log x\] ha senso? Il dominio della funzione $\log$ è $]0,+\infty[$.

[TADY96]

"Indrjo Dedej":Scusa, ma scrivere \[\lim_{x \to 0^-} \log x\] ha senso? Il dominio della funzione $\log$ è $]0,+\infty[$.

sono pienamente d'accordo con quanto hai scritto!!!

ma secondo te il primo limite a cosa è uguale quindi?? quello per x tendente a zero semplicemente senza specificare se da destra o sinistra

[Indrjo Dedej]

No, una cosa è il "non esistere", un'altra il "non ha senso". Per esempio $\lim_{x \to +\infty}\sin x$ non esiste, ma $\sin$ ha senso ovunque in $\mathbb{R}$ e $+\infty$ è punto di accumulazione per il suo dominio. Mentre qui \[\lim_{x \to 0^-}\log x\] non ha proprio senso: $0$ non è punto di accumulazione sinistro per il dominio di $\log$, cosa che invece ti si richiede.
Discussioni filosofiche a parte, io ho fatto il seguente ragionamento. È noto che è vero che \[\lim_{x \to 0^+}\log x=-\infty \ .\] Quindi per la definizione di limite avrei che \[\forall \varepsilon <0 \exists \delta>0 \forall x>0 : x \in B_\delta(0)\cap]0,+\infty[ \Rightarrow \log x<\varepsilon \ .\] E qua ci dovresti essere. Non serve essere dei logici per dire che lì dentro ci sono delle ripetizioni e che quindi basta semplicemente dire:\[\forall \varepsilon <0 \exists \delta>0 \forall x>0 : x \in B_\delta(0) \Rightarrow \log x<\varepsilon \ ,\] ovvero $\lim_{x \to 0}\log x=-\infty$.

[TADY96]

"Indrjo Dedej":No, una cosa è il "non esistere", un'altra il "non ha senso". Per esempio $\lim_{x \to +\infty}\sin x$ non esiste, ma $\sin$ ha senso ovunque in $\mathbb{R}$ e $+\infty$ è punto di accumulazione per il suo dominio. Mentre qui \[\lim_{x \to 0^-}\log x\] non ha proprio senso: $0$ non è punto di accumulazione sinistro per il dominio di $\log$, cosa che invece ti si richiede.
Discussioni filosofiche a parte, io ho fatto il seguente ragionamento. È noto che è vero che \[\lim_{x \to 0^+}\log x=-\infty \ .\] Quindi per la definizione di limite avrei che \[\forall \varepsilon <0 \exists \delta>0 \forall x>0 : x \in B_\delta(0)\cap]0,+\infty[ \Rightarrow \log x<\varepsilon \ .\] E qua ci dovresti essere. Non serve essere dei logici per dire che lì dentro ci sono delle ripetizioni e che quindi basta semplicemente dire:\[\forall \varepsilon <0 \exists \delta>0 \forall x>0 : x \in B_\delta(0) \Rightarrow \log x<\varepsilon \ ,\] ovvero $\lim_{x \to 0}\log x=-\infty$.

Ho capito, sei stato veramente chiaro .

grazie mille!!!!