Limiti
Salve ragazzi!
Avevo un piccolo dubbio sulla risoluzione di questa tipologia di limiti,se poteste aiutarmi ne sarei molto felice!
Il primo limite è il seguente:
\[ \lim_{x\rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{1}{{2^x}^{2}} \right)^{\left ({3} \right)^{2x + 1}} \]
In questo io ho agito come segue,ho riportato il limite,tramite operazioni algebriche,al limite notevole dell'esponenziale.
In particolare o moltiplicato e diviso l'esponente per 2, avendo cosi ad esponente \(\displaystyle 2^{2x +1}(\frac{3}{2}) \),infine, nelle'esponente di 2 ho moltiplicato e diviso per x,riconducendomi quindi al limite notevole e infine viene
\(\displaystyle e^{\frac{6}{x}} \)
Naturalmente non sono sicuro che le operazioni che ho compito sono esatte.
Il secondo Limite invece:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\propto } (\frac{4x - 1}{4 + sen^4(2x)}sen^2(1/x))) \)
questo mi ha dato leggermente più problemi,si può applicare il limite notevole del seno (una stima asintotica in sostanza) al seno del numeratore,che verrà quindi \(\displaystyle \frac{1}{x^2} \) e in sostanza,il numeratore tenderà a zero,per quanto riguarda il numeratore il seno alla quarta di 2x oscillerà tra 0 e 1, e quindi in sostanza il limite tende a 0.
Il mio dubbio era riguardante il seno,che comunque oscilla,non potrebbe dare indeterminazione?
Avevo un piccolo dubbio sulla risoluzione di questa tipologia di limiti,se poteste aiutarmi ne sarei molto felice!
Il primo limite è il seguente:
\[ \lim_{x\rightarrow +\infty} \left(1 + \frac{1}{{2^x}^{2}} \right)^{\left ({3} \right)^{2x + 1}} \]
In questo io ho agito come segue,ho riportato il limite,tramite operazioni algebriche,al limite notevole dell'esponenziale.
In particolare o moltiplicato e diviso l'esponente per 2, avendo cosi ad esponente \(\displaystyle 2^{2x +1}(\frac{3}{2}) \),infine, nelle'esponente di 2 ho moltiplicato e diviso per x,riconducendomi quindi al limite notevole e infine viene
\(\displaystyle e^{\frac{6}{x}} \)
Naturalmente non sono sicuro che le operazioni che ho compito sono esatte.
Il secondo Limite invece:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\propto } (\frac{4x - 1}{4 + sen^4(2x)}sen^2(1/x))) \)
questo mi ha dato leggermente più problemi,si può applicare il limite notevole del seno (una stima asintotica in sostanza) al seno del numeratore,che verrà quindi \(\displaystyle \frac{1}{x^2} \) e in sostanza,il numeratore tenderà a zero,per quanto riguarda il numeratore il seno alla quarta di 2x oscillerà tra 0 e 1, e quindi in sostanza il limite tende a 0.
Il mio dubbio era riguardante il seno,che comunque oscilla,non potrebbe dare indeterminazione?
Risposte
Davvero nessuno sa aiutarmi?
P.S.: Il secondo limite,in ogni caso,si risolve facendo la stima asintotica di \(\displaystyle sen^{2}\frac{1}{x} \),che è \(\displaystyle \frac{1}{x^{2}} \),successivamente si svolge il prodotto,e si raccoglie a fattor comune rispetto a \(\displaystyle 4x^{2} \),e infine,il limite sarà 0!
P.S.: Il secondo limite,in ogni caso,si risolve facendo la stima asintotica di \(\displaystyle sen^{2}\frac{1}{x} \),che è \(\displaystyle \frac{1}{x^{2}} \),successivamente si svolge il prodotto,e si raccoglie a fattor comune rispetto a \(\displaystyle 4x^{2} \),e infine,il limite sarà 0!
$ lim_(x -> +oo ) (1+1/(2^x))^(3^(2x+1))= lim_(x -> +oo ) ((1+1/(2^x))^(2^x))^((3^(2x+1))/2^x )= e^(lim_(x -> +oo )(3^(2x+1))/2^x $
Ho dimenticato l'esponente di x, però il ragionamento è analogo. Devi ricondurti al limite notevole $ lim_(x -> +oo )(1+1/f(x))^f(x) $ mettendo ad esponente $ f(x) $ e elevando il tutto alla "quantità che verifica l'uguaglianza".
In termini spiccioli devi elevare il tutto a quella quantità che ti restituisce il limite da cui sei partito.
Sono stato un po' rozzo per le parole per farti capire.
Come ultimo passaggio, sapendo che $ lim_(x -> +oo )(1+1/f(x))^f(x) $ tende ad e, non ti rimane altro che calcolare il limite dell'esponente a cui hai elevato il tutto per trovare il valore del limite.
Spero di esserti stato utile. Buono studio!
Ho dimenticato l'esponente di x, però il ragionamento è analogo. Devi ricondurti al limite notevole $ lim_(x -> +oo )(1+1/f(x))^f(x) $ mettendo ad esponente $ f(x) $ e elevando il tutto alla "quantità che verifica l'uguaglianza".
In termini spiccioli devi elevare il tutto a quella quantità che ti restituisce il limite da cui sei partito.
Sono stato un po' rozzo per le parole per farti capire.
Come ultimo passaggio, sapendo che $ lim_(x -> +oo )(1+1/f(x))^f(x) $ tende ad e, non ti rimane altro che calcolare il limite dell'esponente a cui hai elevato il tutto per trovare il valore del limite.
Spero di esserti stato utile. Buono studio!
Grazie Mille!
Allora il ragionamento ( a meno di qualche errore di calcolo) era giusto!
Grazie =)
Allora il ragionamento ( a meno di qualche errore di calcolo) era giusto!
Grazie =)
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