Limiti
Buonasera,
Stavo studiando la teoria dei limiti sul Pagani-Salsa, ma volevo partire dai concetti di intorno e punto di accumulazione. Nell'indice analitico è riportato che questi argomenti sono trattati nel capitolo 3: spazi euclidei - elementi di tolopogia in $ \R^(n $ .. volevo sapere se tratta questi concetti anche nel caso di $ \R $
Ho anche il Lanconelli - Lezioni di analisi matematica, però ho visto che utilizza l'operazione di limite senza prima introdurla per parlare delle successioni in $ \R $ (capitolo 2).
Il problema è che ho bisogno di farmi un'idea non troppo approfondita dell'argomento per capire le prossime lezioni e non ho il tempo per studiare tutto nel dettaglio ora. In ogni caso proverò a capire seguendo l'impostazione del Pagani-Salsa...
Grazie in anticipo.
Stavo studiando la teoria dei limiti sul Pagani-Salsa, ma volevo partire dai concetti di intorno e punto di accumulazione. Nell'indice analitico è riportato che questi argomenti sono trattati nel capitolo 3: spazi euclidei - elementi di tolopogia in $ \R^(n $ .. volevo sapere se tratta questi concetti anche nel caso di $ \R $
Ho anche il Lanconelli - Lezioni di analisi matematica, però ho visto che utilizza l'operazione di limite senza prima introdurla per parlare delle successioni in $ \R $ (capitolo 2).
Il problema è che ho bisogno di farmi un'idea non troppo approfondita dell'argomento per capire le prossime lezioni e non ho il tempo per studiare tutto nel dettaglio ora. In ogni caso proverò a capire seguendo l'impostazione del Pagani-Salsa...
Grazie in anticipo.
Risposte
Non so se ti sarà utile, ma posso copiarti una parte delle dispense che ho preparato alcuni anni fa per i miei alunni.
Ripasso con le "formule" solo le parti illeggibili.
inserisco qui, all'inizio, la nota che ho indicato con l'asterisco (*): di solito si parla di intorno completo di un punto come di un intervallo aperto che contiene al suo interno il punto, senza "togliere il punto stesso": in questo caso cambiano leggermente le notazioni. Aggiungo che un intorno completo (a,b) del punto c si dice circolare se c è il punto medio del segmento [a,b].
<<
INTERVALLI ED INTORNI
Sono di fondamentale importanza, per tutta l’Analisi Matematica, gli insiemi di numeri reali.
L’insieme di tutti i numeri reali si chiama continuo reale e si indica con la lettera R.
Tra gli insiemi numerici distinguiamo, in particolare, gli intervalli limitati ed illimitati.
Precisamente, esistono 4 tipi di intervalli limitati, 4 tipi di intervalli illimitati, più il continuo lineare.
...................
Si definisce intorno completo di un numero reale (o di un punto) c, un qualsiasi intervallo aperto che contenga c, escluso il punto stesso*. Ad esempio, un intorno del numero 5 è l’intervallo dei numeri compresi tra 4 e 6, escluso il numero 5. In formule: I[5] = (4;6) – {5} = (4;5)$uu$(5;6).
Si dice intorno destro del numero (o punto) c, ogni intervallo aperto che abbia c come estremo inferiore; intorno sinistro del numero (o punto) c, ogni intervallo aperto che abbia c come estremo superiore. Ad esempio (1;2) è un intorno destro del numero 1 ed un intorno sinistro del numero 2.
Si dice intorno completo dell’infinito l’unione di due intervalli aperti illimitati, ad esempio:
$I[- oo] = (- oo;-100) uu (200;+ oo)$. Si dice intorno di $+ oo$ (o intorno sinistro di $+ oo$) un intervallo aperto illimitato superiormente (ad esempio $(+1000;+ oo)$); si dice intorno di $- oo$ (o intorno destro di $- oo$) un intervallo aperto illimitato inferiormente (ad esempio $(- oo;-500)$).
Definizione unificata di limite.
Si dice che la funzione f(x), definita nell’intorno del punto c, ammette limite l per x che tende a c, e si scrive $lim_(x->c) (f(x))= l$ , se per ogni intorno di l [$I(l)$] esiste almeno un intorno di c [$I(c)$] tale che, se x appartiene all’intorno I(c), escluso c, allora f(x) appartiene all’intorno I(l), compreso l; ...... Si noti che I(c) non comprende il numero c.
>>
La nozione di punto di accumulazione non è molto "moderna": la aggiungo qui (alla buona).
Si dice che il punto $p$ è di accumulazione per la funzione reale $f(x)$ se ogni intorno di $p$ contiene almeno un punto, diverso da $p$, appartenente al dominio di $f$.
Spero che queste quattro cose ti possano essere utili. Eventualmente, chiedi qualche chiarimento o fai qualche domanda specifica. ciao
Ripasso con le "formule" solo le parti illeggibili.
inserisco qui, all'inizio, la nota che ho indicato con l'asterisco (*): di solito si parla di intorno completo di un punto come di un intervallo aperto che contiene al suo interno il punto, senza "togliere il punto stesso": in questo caso cambiano leggermente le notazioni. Aggiungo che un intorno completo (a,b) del punto c si dice circolare se c è il punto medio del segmento [a,b].
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INTERVALLI ED INTORNI
Sono di fondamentale importanza, per tutta l’Analisi Matematica, gli insiemi di numeri reali.
L’insieme di tutti i numeri reali si chiama continuo reale e si indica con la lettera R.
Tra gli insiemi numerici distinguiamo, in particolare, gli intervalli limitati ed illimitati.
Precisamente, esistono 4 tipi di intervalli limitati, 4 tipi di intervalli illimitati, più il continuo lineare.
...................
Si definisce intorno completo di un numero reale (o di un punto) c, un qualsiasi intervallo aperto che contenga c, escluso il punto stesso*. Ad esempio, un intorno del numero 5 è l’intervallo dei numeri compresi tra 4 e 6, escluso il numero 5. In formule: I[5] = (4;6) – {5} = (4;5)$uu$(5;6).
Si dice intorno destro del numero (o punto) c, ogni intervallo aperto che abbia c come estremo inferiore; intorno sinistro del numero (o punto) c, ogni intervallo aperto che abbia c come estremo superiore. Ad esempio (1;2) è un intorno destro del numero 1 ed un intorno sinistro del numero 2.
Si dice intorno completo dell’infinito l’unione di due intervalli aperti illimitati, ad esempio:
$I[- oo] = (- oo;-100) uu (200;+ oo)$. Si dice intorno di $+ oo$ (o intorno sinistro di $+ oo$) un intervallo aperto illimitato superiormente (ad esempio $(+1000;+ oo)$); si dice intorno di $- oo$ (o intorno destro di $- oo$) un intervallo aperto illimitato inferiormente (ad esempio $(- oo;-500)$).
Definizione unificata di limite.
Si dice che la funzione f(x), definita nell’intorno del punto c, ammette limite l per x che tende a c, e si scrive $lim_(x->c) (f(x))= l$ , se per ogni intorno di l [$I(l)$] esiste almeno un intorno di c [$I(c)$] tale che, se x appartiene all’intorno I(c), escluso c, allora f(x) appartiene all’intorno I(l), compreso l; ...... Si noti che I(c) non comprende il numero c.
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La nozione di punto di accumulazione non è molto "moderna": la aggiungo qui (alla buona).
Si dice che il punto $p$ è di accumulazione per la funzione reale $f(x)$ se ogni intorno di $p$ contiene almeno un punto, diverso da $p$, appartenente al dominio di $f$.
Spero che queste quattro cose ti possano essere utili. Eventualmente, chiedi qualche chiarimento o fai qualche domanda specifica. ciao
"dedalus94":
... volevo sapere se tratta questi concetti anche nel caso di $ \R $
Esplicitamente no, ma chiaramente se vedi quei concetti in $RR^n$, trasportarli in $RR$ è banale. Ti consiglio vivamente di non fare il mio stesso errore e studiare fin da subito quella sezione 3.2 "Elementi di topologia $RR^n$" perchè sarà fondamentale per tutta la tua futura carriera.
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