Limiti
Ciao a tutti! Devo risolvere i seguenti limiti:
1) $lim_(n->infty)int_(0)^n(1-n/x)^n*e^(x/2)dx$
Ho pensato di integrare per parti considerando $e^(x/2)$ come derivata di $2e^x$, però con il fattore tra parentesi mi viene un casino! Quindi sono bloccata già in partenza.
2) $lim_(n->infty)int_(0)^n(1+n/x)^n*e^(-2x)dx$
Probabilmente i due limiti sono collegati ma non ho idea di come risolverli. Grazie mille a chi mi aiuterà!
1) $lim_(n->infty)int_(0)^n(1-n/x)^n*e^(x/2)dx$
Ho pensato di integrare per parti considerando $e^(x/2)$ come derivata di $2e^x$, però con il fattore tra parentesi mi viene un casino! Quindi sono bloccata già in partenza.
2) $lim_(n->infty)int_(0)^n(1+n/x)^n*e^(-2x)dx$
Probabilmente i due limiti sono collegati ma non ho idea di come risolverli. Grazie mille a chi mi aiuterà!
Risposte
sicura che i limiti non siano questi?
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{x/2}\,\,dx ,\qquad \lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{n}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{-2x }\,\,dx.
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{x/2}\,\,dx ,\qquad \lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{n}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{-2x }\,\,dx.
\end{align*}
"Noisemaker":
sicura che i limiti non siano questi?
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{x/2}\,\,dx ,\qquad \lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{n}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\cdot e^{-2x }\,\,dx.
\end{align*}
Anche a me sembra più sensato così.
A prescindere dalla "sensatezza" (mi associo a Quinzio e noisemaker 
).
La derivata di $2e^x$ è... $2e^x$: $e^(x/2)$ è la derivata di $2e^(x/2)$.
)."luigina":
Ho pensato di integrare per parti considerando $e^(x/2)$ come derivata di $2e^x$, però con il fattore tra parentesi mi viene un casino!
La derivata di $2e^x$ è... $2e^x$: $e^(x/2)$ è la derivata di $2e^(x/2)$.
no ragazzi i testi dei limiti sono esatti proprio come li ho scritti.. Invece si ho sbagliato intendevo dire che $e^(x/2)$ è la derivata di $2e^(x/2)$
I passaggi ai limiti sotto il segno di integrale e altre robe del genere mi sono rimasti sempre ostici, per cui mi aggrappo a Quinzio, Noisemaker, la grande G, theras... ai quali chiedo di correggermi se le sparo grosse.
Prendo il primo esercizio.
$lim_(n->\infty) \int_0^n ...dx$
e non credo che posso passare al limite sotto il segno di integrale perché c'è quella benedetta $n$ come estremo dell'intervallo.
Però posso scrivere - tralascio un attimo il limite
$\int_0^n ... dx = \int_0^(\infty) ... dx - \int_n^(\infty) ... dx$
Ora mettiamoci il limite e il secondo termine lo posso togliere perché tende a zero e mi resta il primo: posso - spero - applicare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale
$= \int_0^(\infty) e^(x/2) lim_(n->\infty) (1-n/x)^n dx$ non esiste (credo).
Ora - e vale anche per l'esercizio 2 - in entrambi i casi ci sono grattacapi.
- $(1-n/x)^n$, fissato $x>0$ non ammette limite per $n-> \infty$ essendo del tipo "quantità negativa grande elevata a $n$" che una volta è positiva ($n$ pari) e una volta è negativa ($n$ dispari).
- $(1+n/x)^n$, fissato $x>0$, tende a $\infty$.
Prendo il primo esercizio.
$lim_(n->\infty) \int_0^n ...dx$
e non credo che posso passare al limite sotto il segno di integrale perché c'è quella benedetta $n$ come estremo dell'intervallo.
Però posso scrivere - tralascio un attimo il limite
$\int_0^n ... dx = \int_0^(\infty) ... dx - \int_n^(\infty) ... dx$
Ora mettiamoci il limite e il secondo termine lo posso togliere perché tende a zero e mi resta il primo: posso - spero - applicare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale
$= \int_0^(\infty) e^(x/2) lim_(n->\infty) (1-n/x)^n dx$ non esiste (credo).
Ora - e vale anche per l'esercizio 2 - in entrambi i casi ci sono grattacapi.
- $(1-n/x)^n$, fissato $x>0$ non ammette limite per $n-> \infty$ essendo del tipo "quantità negativa grande elevata a $n$" che una volta è positiva ($n$ pari) e una volta è negativa ($n$ dispari).
- $(1+n/x)^n$, fissato $x>0$, tende a $\infty$.
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