Limiti

[luigina2]

Ciao a tutti, devo calcolare i seguenti limiti:
1) $lim_(n->infty)1/nint_(1/n)^infty(sin x/x^2)dx$
Ho osservato che la funzione integranda è finita attorno a infinito, ma diverge attorno allo zero perché $sin x/x^2$ è asintoticamente equivalente a $x/x^2$ cioè $1/x$ che diverge sempre. Quindi cosa posso concludere?

2) $lim_(n->infty)int_(0)^inftynxe^(-sqrt(n)x)dx$
Ho fatto un cambio di variabili $nx=y$, quindi
$lim_(n->infty)int_(0)^inftynxe^(-sqrt(n)x)dx = lim_(n->infty)int_(0)^inftyye^(-sqrt(n)y/n)1/n dy = lim_(n->infty)1/n int_(0)^inftyye^(-y/sqrt(n))dy$
Ora vorrei che $ye^(-y/sqrt(n))$ fosse limitato ma non riesco a motivare perché.

Grazie mille a chi mi aiuterà!

[Noisemaker]

per il primo esercizio non puoi concludere nulla perch' hai una forma indeterminata $0\cdot\infty;$ per il secondo esercizio, quello che in realtà dovresti fare è quest'operazione:
\[\lim_{n}\int_{0}^{+\infty} nxe^{-x\sqrt n }\,\,dx\stackrel{\bf ?}{=}\int_{0}^{+\infty}\lim_{n} \,\,\,nxe^{-x\sqrt n }\,\,dx ,\]
ammeso he si possa fare...