Limiti
Devo calcolare i seguenti limiti, per $n$ tendente ad infinito:
$(n!)/n^n$, $a^n/(n!)$, $((n!)^(1/n))/n$.
Sui primi due suppongo che abbiano come limite $0$ visto che a denominatore ci sono degli infiniti di ordine superiore ai loro rispettivi numeratori, per il calcolo del terzo limite invece non saprei dire nulla, potreste darmi qualche consiglio di come procedere?
$(n!)/n^n$, $a^n/(n!)$, $((n!)^(1/n))/n$.
Sui primi due suppongo che abbiano come limite $0$ visto che a denominatore ci sono degli infiniti di ordine superiore ai loro rispettivi numeratori, per il calcolo del terzo limite invece non saprei dire nulla, potreste darmi qualche consiglio di come procedere?
Risposte
Basta utilizzare l'approssimazione di Stirling per il fattoriale.
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... i_Stirling
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... i_Stirling
Ho sbagliato a digitare, il limite proposto nel testo è il seguente:
limite per $n$ tendente ad infinito di $((n!)/n)^(1/n)$, e comunque credo che richieda l'uso di teoremi più elementari , come quelli di Cesàro, solo che non riesco a capire come possono essere applicati nel caso di questo esercizio.
limite per $n$ tendente ad infinito di $((n!)/n)^(1/n)$, e comunque credo che richieda l'uso di teoremi più elementari , come quelli di Cesàro, solo che non riesco a capire come possono essere applicati nel caso di questo esercizio.
Hai:
\[
\sqrt[n]{\frac{n!}{n}} = \exp \left( \frac{1}{n}\ \log \frac{n!}{n}\right) = \exp \left( \frac{1}{n}\ \log (n-1)!\right)
\]
quindi basta farsi un idea di dove va a finire (non "il mio affetto", come cantava Gianni Morandi, ma) la successione \(\frac{1}{n}\ \log (n-1)!\).
Hai:
\[
\frac{1}{n}\ \log (n-1)! = \frac{1}{n}\ \big(\log (n-1) + \log (n-2) + \cdots + \log 2 + \log 1\big) = \frac{n-1}{n}\ \frac{\log (n-1) + \log (n-2) + \cdots + \log 2 + \log 1}{n-1}
\]
quindi \(\frac{1}{n}\ \log (n-1)!\) è "imparentata" con una successione di medie aritmetiche cui puoi applicare un teorema di Cesàro.
\[
\sqrt[n]{\frac{n!}{n}} = \exp \left( \frac{1}{n}\ \log \frac{n!}{n}\right) = \exp \left( \frac{1}{n}\ \log (n-1)!\right)
\]
quindi basta farsi un idea di dove va a finire (non "il mio affetto", come cantava Gianni Morandi, ma) la successione \(\frac{1}{n}\ \log (n-1)!\).
Hai:
\[
\frac{1}{n}\ \log (n-1)! = \frac{1}{n}\ \big(\log (n-1) + \log (n-2) + \cdots + \log 2 + \log 1\big) = \frac{n-1}{n}\ \frac{\log (n-1) + \log (n-2) + \cdots + \log 2 + \log 1}{n-1}
\]
quindi \(\frac{1}{n}\ \log (n-1)!\) è "imparentata" con una successione di medie aritmetiche cui puoi applicare un teorema di Cesàro.
nel testo da cui ho tratto l'esercizio il viene dato come risultato del limite $1/e$, onestamente non ho ancora ben capito come si arrivi a questo risultato.
Beh, allora devi calcolare il:
\[
\lim_n \frac{(n!)^{1/n}}{n}
\]
poiché è questo che dà come risultato \(1/e\).
Il calcolo, senza formula di Stirling, è un po' delicato ma si fa con tecniche di Analisi I (teorema dei carabinieri e stime derivanti dal teorema fondamentale del Calcolo Integrale).
Vedi un po' cosa riesci a fare seguendo i due suggerimenti che ti do appresso:
\[
\begin{split}
\log n! &= \log n + \log (n-1) + \log (n-2) +\cdots + \log 3+\log 2+\log 1\\
&= \int_n^{n+1} \log n\ \text{d} x + \int_{n-1}^n \log (n-1)\ \text{d} x + \int_{n-2}^{n-1} \log (n-2)\ \text{d} x +\cdots \\
&\phantom{=} + \int_3^4 \log 3\ \text{d} x + \int_2^3 \log 2\ \text{d} x +\int_1^2 \log 1\ \text{d} x\\
&\color{red}{\leq} \int_n^{n+1} \log x\ \text{d} x + \int_{n-1}^n \log x\ \text{d} x + \int_{n-2}^{n-1} \log x\ \text{d} x +\cdots \\
&\phantom{=}+ \int_3^4 \log x\ \text{d} x + \int_2^3 \log x\ \text{d} x +\int_1^2 \log x\ \text{d} x\\
&= \cdots\\
& \\
\log n! &= \log n + \log (n-1) + \log (n-2) +\cdots + \log 3+\log 2\\
&= \int_{n-1}^n \log n\ \text{d} x + \int_{n-2}^{n-1} \log (n-1)\ \text{d} x + \int_{n-3}^{n-2} \log (n-2)\ \text{d} x +\cdots \\
&\phantom{=}+ \int_2^3 \log 3\ \text{d} x + \int_1^2 \log 2\ \text{d} x\\
&\color{red}{\geq} \int_{n-1}^n \log x\ \text{d} x + \int_{n-2}^{n-1} \log x\ \text{d} x + \int_{n-3}^{n-2} \log x\ \text{d} x +\cdots \\
&\phantom{=}+ \int_2^3 \log x\ \text{d} x + \int_1^2 \log x\ \text{d} x\\
&= \cdots
\end{split}
\]
\[
\lim_n \frac{(n!)^{1/n}}{n}
\]
poiché è questo che dà come risultato \(1/e\).
Il calcolo, senza formula di Stirling, è un po' delicato ma si fa con tecniche di Analisi I (teorema dei carabinieri e stime derivanti dal teorema fondamentale del Calcolo Integrale).
Vedi un po' cosa riesci a fare seguendo i due suggerimenti che ti do appresso:
\[
\begin{split}
\log n! &= \log n + \log (n-1) + \log (n-2) +\cdots + \log 3+\log 2+\log 1\\
&= \int_n^{n+1} \log n\ \text{d} x + \int_{n-1}^n \log (n-1)\ \text{d} x + \int_{n-2}^{n-1} \log (n-2)\ \text{d} x +\cdots \\
&\phantom{=} + \int_3^4 \log 3\ \text{d} x + \int_2^3 \log 2\ \text{d} x +\int_1^2 \log 1\ \text{d} x\\
&\color{red}{\leq} \int_n^{n+1} \log x\ \text{d} x + \int_{n-1}^n \log x\ \text{d} x + \int_{n-2}^{n-1} \log x\ \text{d} x +\cdots \\
&\phantom{=}+ \int_3^4 \log x\ \text{d} x + \int_2^3 \log x\ \text{d} x +\int_1^2 \log x\ \text{d} x\\
&= \cdots\\
& \\
\log n! &= \log n + \log (n-1) + \log (n-2) +\cdots + \log 3+\log 2\\
&= \int_{n-1}^n \log n\ \text{d} x + \int_{n-2}^{n-1} \log (n-1)\ \text{d} x + \int_{n-3}^{n-2} \log (n-2)\ \text{d} x +\cdots \\
&\phantom{=}+ \int_2^3 \log 3\ \text{d} x + \int_1^2 \log 2\ \text{d} x\\
&\color{red}{\geq} \int_{n-1}^n \log x\ \text{d} x + \int_{n-2}^{n-1} \log x\ \text{d} x + \int_{n-3}^{n-2} \log x\ \text{d} x +\cdots \\
&\phantom{=}+ \int_2^3 \log x\ \text{d} x + \int_1^2 \log x\ \text{d} x\\
&= \cdots
\end{split}
\]
ho visto un limite simile in un mio compito di Analisi 1, fortunatamente il mio prof ci lasciava tenere e/o libri all'esame, su un libro c'era scritto "applicando l'uguaglianza $\lim_(n\to +\infty)\root(n)(a_n)=\lim_(n\to +\infty) (a_(n+1))/(a_n)$"
Stirling si può essere una scelta di risoluzione, ma io userei quell'uguaglianza.. La formula di Stirling non riesco mai a ricordarmela
e ora che ci penso, la formula di Stirling, ce l'aveva detta l'esercitatore, ma non ne ho mai visto una sua dimostrazione.
Stirling si può essere una scelta di risoluzione, ma io userei quell'uguaglianza.. La formula di Stirling non riesco mai a ricordarmela
e ora che ci penso, la formula di Stirling, ce l'aveva detta l'esercitatore, ma non ne ho mai visto una sua dimostrazione.
"21zuclo":
ho visto un limite simile in un mio compito di Analisi 1, fortunatamente il mio prof ci lasciava tenere e/o libri all'esame, su un libro c'era scritto "applicando l'uguaglianza $\lim_(n\to +\infty)\root(n)(a_n)=\lim_(n\to +\infty) (a_(n+1))/(a_n)$"
L'uguaglianza è una conseguenza immediata del teorema di Cesàro sulle medie geometriche.
"21zuclo":
Stirling si può essere una scelta di risoluzione, ma io userei quell'uguaglianza.. La formula di Stirling non riesco mai a ricordarmela
Vabbé, il più delle volte serve solo sapere che \(n!\approx C\ n^{n+1/2}\ e^{-n}\).
"21zuclo":
e ora che ci penso, la formula di Stirling, ce l'aveva detta l'esercitatore, ma non ne ho mai visto una sua dimostrazione.
L'ho dimostrata qui.
Si l'approccio migliore per arrivare al risultato immediato è quello riportato da 21zuclo, anche io avevo trovato lo stesso teorema sul libro di analisi "Stampacchia" ed avevo provato ad applicarlo, , infatti se non sbaglio il limite per $n$ tendente ad infinito di $((n!)/n)^(1/n)=((n-1)!)^(1/n)$ dà come limite più infinito , applicando il teorema di Cesàro si ha: limite di $(n!)/((n-1)!)$$=n$ che evidentemente è più infinito.
Per quanto riguarda il limite di $(n!)^(1/n)/n=((n!)/n^n)^(1/n)$, applicando il teorema di Cesàro si ha limite di $((n+1)!)/(n+1)^(n+1))((n^n)/(n!))=(n/(n+1))^n)=(1-1/(n+1))^n$, il cui limite per $n$ tendente ad infinito risulta vedersi facilmente essere $1/e$; correggetemi se sbaglio!
Per quanto riguarda il limite di $(n!)^(1/n)/n=((n!)/n^n)^(1/n)$, applicando il teorema di Cesàro si ha limite di $((n+1)!)/(n+1)^(n+1))((n^n)/(n!))=(n/(n+1))^n)=(1-1/(n+1))^n$, il cui limite per $n$ tendente ad infinito risulta vedersi facilmente essere $1/e$; correggetemi se sbaglio!
C'è qualcuno che può controllare se ciò che ho scritto sopra è corretto ?
per favore ,volevo solo un parere se ho eseguito correttamente i calcoli.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo