Limiti

[5t4rdu5t]

ho un dubbio riguardant lo svolgimento di questo limite : $\ lim_{n \to \infty}( root(3)(n+4) - root(3)(n)) $ io pensavo di procende razionalizzando così da togliermi le radici al numeratore essendo che poi diventa una frazione, ma per quanto riguarda la parte di sotto pensavo di applicare la somma di cubi come prima via però mi sono un pò perso..qualche consiglio?? grazie..

[Noisemaker]

la strada della razionalizzazione è corretta; a denomonatore dovresti avere la possibilità di stabilire l'ordine di infinito maggiore

[5t4rdu5t]

è possibile scrivere direttamente zero? visto che risulterebbe $4/infty $

[Noisemaker]

si be direttamente dopo aver fatto la razionalizzazione, ovvero ricordando che
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
si ha
\begin{align}
&\lim_{n\to+\infty}\sqrt[3]{n+4}-\sqrt[3]n\cdot\frac{\left(\sqrt[3]{n+4}\right)^2+\sqrt[3]{n+4}\cdot\sqrt[3]n +\left(\sqrt[3]n\right)^2}{\left(\sqrt[3]{n+4}\right)^2+\sqrt[3]{n+4}\cdot\sqrt[3]n +\left(\sqrt[3]n\right)^2}=\lim_{n\to+\infty} \frac{ n+4 - n}{\sqrt[3]{(n+4)^2}+\sqrt[3]{n^2+4n} + \sqrt[3]{n^2} }\\
&\sim\lim_{n\to+\infty} \frac{ 4 }{\sqrt[3]{ n ^2}+\sqrt[3]{n^2 } + \sqrt[3]{n^2} }=\lim_{n\to+\infty} \frac{ 4 }{3\sqrt[3]{ n ^2}}=0
\end{align}

[5t4rdu5t]

...ma il termine (a-b) non compare??? cmq moltiplichiamo e dividiamo per il cubo scomposto allora?

[Noisemaker]

il termine $(a-b)$ è $\root[3]{n+4}-\root[3]n$ .... scusa tu come hai razionalizzto?

[5t4rdu5t]

"Noisemaker":il termine $(a-b)$ è $\sqrt[3]{n+4}-\sqrt[3]n$ .... scusa tu come hai razionalizzto?

forse hai scritto male.. cmq avevo impostato l'esercizio in modo diversamente, io non avevo scomposto inizialmente.. . quindi scomponiamo $ (n+4)^(1/3)-n^(1/3) in tutto quello? e dopo dividiamo e molt per quella quantità?

[Noisemaker]

basta ricordare che

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

[5t4rdu5t]

allora scusami moltiplichiamo e dividiamo in questo caso usando $a^2+ab+b^2$ perchè abbiamo una differenza di cubi...ma in realtà non scomponiamo niente...

[5t4rdu5t]

grazie per la dritta Noisemaker, risolto tutto

[5t4rdu5t]

Ho un un altro dubbio su questo limite $ lim n^2(cosn-2) $ n che va sempr a infinito. Io so che: -3

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[Noisemaker]

"5t4rdu5t":Ho un un altro dubbio su questo limite $ lim n^2(cosn-2) $ n che va sempr a infinito. Io so che: -3

si ci sei ..
\[(-3)\cdot n^2

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[5t4rdu5t]

Ook grazie, ma il dubbio che mi sorge é quale disuguaglianza prendere mi sembrano tutte due uguali...

[Noisemaker]

cioè?? devi applicare il teorema dei due CC...

[5t4rdu5t]

Carabinieri?? Mi sembrava sbagliato...volevo appliCare il 2 o 3 teorema del confronto

[Noisemaker]

a parte che non ho capito a cosa ti riferisci con quei due teroemi ce citi, il criterio dei carabinieri è proprio scritto davanti a te in quella disuguaglianza doppia:
$$-\infty\leftarrow(-3)\cdot n^2 essendo compresa tra due successioni che tendono entrambe a $-\infty$ anche la successione centrale tenderà allo stesso limite, dunque
$$\lim_{n\to+\infty} n^2(\cos n-2)=-\infty$$

[5t4rdu5t]

oltre al teorema dei carabinieri ci sono altri due teoremi del confronto, cercando sui libri ho trovato qualcosa di simile in cui il limite veniva solo considerato in questo modo $ n^2(cosn-2) < -n^2 $ maggiorata da una divergente negativamete... che confusione .-.