[Limite]Svolgimento corretto o risultato casualmente esatto?
Buongiorno a tutti,
Rieccomi alle prese con l'analisi e riprendo da dove avevo lasciato, ovvero dalle mie difficoltà sui limiti (eppure dovrò andare avanti! sigh)
Prima di staccare un po' la spina, più o meno un mesetto fa, avevo lasciato un antipaticissimo limite che non ero in grado di risolvere in alcun modo: ho riempito pagine e pagine del mio quaderno per poi ritrovarmi con un pugno di mosche in mano, una qualche forma di indeterminazione che non riuscivo a risolvere.
Oggi ho provato nuovamente a svolgerlo e questa volta sono giunto ad un risultato finito che, per giunta, è quello esatto (l'ho verificato dal grafico, disegnandolo su http://rechneronline.de/function-graphs/ )
Finita l'immancabile premessa, arrivo al dunque:
$lim_(x->+oo) x*sqrt(((x-1)/(x+1))) - x$
Per risolverlo questa volta ho provato a sostituire $x$ con $t=1/x$, pertanto, dopo qualche semplificazione:
$lim_(t->0+) (sqrt(((1-t)/(1+t))) - 1)/t$
Adesso, per andare avanti mi sono ricordato che in $y->0$, $root(n)(1+y)-1 ~= 1/n *y$.
Tuttavia per applicare l'equivalenza asintotica ho fatto ricorso ad un artificio su cui ho un dubbio (non sono molto pratico con queste cose
), ovvero ho aggiunto e sottratto $1$ all'interno della radice, per avere:
$lim_(t->0+) (sqrt((1+((1-t)/(1+t)-1))) - 1)/t$
Sono sempre un po' troppo generoso con le parentesi, ma credo sia chiaro che ho voluto evidenziare che il mio $y$ è $(1-t)/(1+t)-1$
A questo punto sfruttando l'equivalenza sintotica, trovo che
$sqrt((1+((1-t)/(1+t)-1))) - 1 ~= (1/2)*((1-t)/(1+t)-1) = -t/(t+1)$
(ho implicitamente effettuato una sostituzione di variabile ( $y=(1-t)/(1+t)-1$ ) e poi ho ripristinato la $t$ )
Ho praticamente concluso tornando al limite originario e sostituendo il nominatore con il termine asintoticamente equivalente:
$lim_(t->0+) (sqrt(((1-t)/(1+t))) - 1)/t = lim_(t->0+) (-t/(t+1))/t = lim_(t->0+) -1/(t+1) = -1$,
che è ovviamente la stessa soluzione del limite di partenza.
Il mio dubbio principale è: sono stato rigoroso in ogni punto oppure ho dato qualcosa per scontato?
Rieccomi alle prese con l'analisi e riprendo da dove avevo lasciato, ovvero dalle mie difficoltà sui limiti (eppure dovrò andare avanti! sigh)
Prima di staccare un po' la spina, più o meno un mesetto fa, avevo lasciato un antipaticissimo limite che non ero in grado di risolvere in alcun modo: ho riempito pagine e pagine del mio quaderno per poi ritrovarmi con un pugno di mosche in mano, una qualche forma di indeterminazione che non riuscivo a risolvere.
Oggi ho provato nuovamente a svolgerlo e questa volta sono giunto ad un risultato finito che, per giunta, è quello esatto (l'ho verificato dal grafico, disegnandolo su http://rechneronline.de/function-graphs/ )
Finita l'immancabile premessa, arrivo al dunque:
$lim_(x->+oo) x*sqrt(((x-1)/(x+1))) - x$
Per risolverlo questa volta ho provato a sostituire $x$ con $t=1/x$, pertanto, dopo qualche semplificazione:
$lim_(t->0+) (sqrt(((1-t)/(1+t))) - 1)/t$
Adesso, per andare avanti mi sono ricordato che in $y->0$, $root(n)(1+y)-1 ~= 1/n *y$.
Tuttavia per applicare l'equivalenza asintotica ho fatto ricorso ad un artificio su cui ho un dubbio (non sono molto pratico con queste cose
), ovvero ho aggiunto e sottratto $1$ all'interno della radice, per avere:$lim_(t->0+) (sqrt((1+((1-t)/(1+t)-1))) - 1)/t$
Sono sempre un po' troppo generoso con le parentesi, ma credo sia chiaro che ho voluto evidenziare che il mio $y$ è $(1-t)/(1+t)-1$
A questo punto sfruttando l'equivalenza sintotica, trovo che
$sqrt((1+((1-t)/(1+t)-1))) - 1 ~= (1/2)*((1-t)/(1+t)-1) = -t/(t+1)$
(ho implicitamente effettuato una sostituzione di variabile ( $y=(1-t)/(1+t)-1$ ) e poi ho ripristinato la $t$ )
Ho praticamente concluso tornando al limite originario e sostituendo il nominatore con il termine asintoticamente equivalente:
$lim_(t->0+) (sqrt(((1-t)/(1+t))) - 1)/t = lim_(t->0+) (-t/(t+1))/t = lim_(t->0+) -1/(t+1) = -1$,
che è ovviamente la stessa soluzione del limite di partenza.
Il mio dubbio principale è: sono stato rigoroso in ogni punto oppure ho dato qualcosa per scontato?
Risposte
A naso direi che va benissimo.
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