Limite....n2

[geovito]

Assegnato il limite
$lim_(x->0)ln(e^x^(2)-sinx^(2))/(arctg^(4)(sinroot(3)(x)-tgroot(3)x) $
Usando solo infinitesimi, Hopital e limiti fondamentali.
Al numeratore aggiungo e sottraggo 1 all'argomento del ln
Al denominatore "elimino l'arctg (coi limiti fondamentali), cioè
$lim_(x->0)ln(e^x^(2)-1+1-sinx^(2))/(sinroot(3)(x)-tgroot(3)x)^(4) $
Sempre con i limiti fondamentali "elimino il ln"
$lim_(x->0)(e^x^(2)-1-sinx^(2))/(sinroot(3)(x)-tgroot(3)x)^(4) $

Il denominatore equivale a $sinroot(3)(x)-tgroot(3)x\sim -(root(3)x/2)^3$ quindi $-x/2$, che sostituito nel limite diviene
$lim_(x->0)(e^x^(2)-1-sinx^(2))/(x^4/16)$

Al numeratore poi "elimino" coi limiti notevoli $e^x^(2)$, quindi

$lim_(x->0)(x^(2)-sinx^(2))/(x^4/16)$
Ma tutto ciò è esatto? Come si può procedere?
Grazie

[Antimius]

Attento all'ultimo passaggio, hai una somma.
Io sostituirei nella penultima espressione [tex]$z=x^2$[/tex] (non è necessaria questa sostituzione, ma è comoda perché abbassa il grado) e poi applicherei De L'Hopital una volta.
Se ho fatto bene i calcoli il limite corrispondente dovrebbe essere [tex]$8\lim_{z \to 0} \frac{e^z-\cos z}{z}$[/tex] che, se esiste, è uguale al limite di partenza.
Infine, [tex]$\frac{e^z-\cos z}{z}=\frac{e^z-1}{z}+\frac{1-\cos z}{z} \stackrel{z\to 0}{\to} 1$[/tex] per gli ovvi limiti notevoli.
Dunque, il tuo limite è [tex]$8$[/tex].

[Seneca1]

Ci sono un po' di errori mi sembra.

Anzitutto il denominatore non asintotico a $(- x/2)^4$ (come hai dedotto questa informazione?).

[Antimius]

A me sembra giusto, però lascio che sia lui a dimostrarlo.

[tex]$(\sin{\sqrt[3]{x}}-\tan{\sqrt[3]{x})^4=\big((\tan{\sqrt[3]{x}})(\cos{\sqrt[3]{x}}-1)\big)^4\sim\bigg(-\frac{x}{2}\bigg)^4=\frac{x^4}{16}$[/tex]

[Seneca1]

Correggo, sono d'accordo.