Limite...help!
E' da qualche giorno che cerco di risolvere questo limite, il fatto è che finora mi sono esercitato solo con quelli risolvibili tramite coordinate polari o fascio di rette/parabole per l'origine...devo ammettere che non so davvero da dove cominciare!
Il limite è questo:
$lim_((x,y)->(1,1))(sen(x+y-2))/((x-1)^2+(y-1)^2)$
Se qualcuno avesse qualche suggerimento anche solo per l'impostazione ne sarei davvero felice, grazie in anticipo!
Il limite è questo:
$lim_((x,y)->(1,1))(sen(x+y-2))/((x-1)^2+(y-1)^2)$
Se qualcuno avesse qualche suggerimento anche solo per l'impostazione ne sarei davvero felice, grazie in anticipo!
Risposte
Comincia col cambiare variabile. Riconduciti ad un limite per \((\xi, \eta)\to (0,0)\). Questo potrebbe darti accesso agli strumenti che hai menzionato prima.
Ok, ma quando pongo x-1=A e y-1=B è automatico che il limite diventa per (A,B)->(0,0)...giusto?
Grazie!
Grazie!
E c'era davvero bisogno di chiedere conferma...? Pensaci da solo. Se \(x\) tende a \(1\) a cosa tende \(x-1\)? Lo stesso per \(y\). Questo piccolo ragionamento ti fa capire a cosa dovrai far tendere le variabili ausiliarie \(A\) e \(B\).
In ogni caso dopo che ho fatto il cambio di variabili mi rimane $lim_((A,B)->(0,0))(sen(A+B))/(A^2+B^2)$ , che non mi sembra sia un limite notevole, e non posso passare in coordinate polari perchè non riesco a isolare/semplificare ro. Qualcuno può fornirmi un suggerimento per proseguire? Purtroppo come potete capire non sono un fulmine di guerra in analisi!!!
Grazie in anticipo.
Grazie in anticipo.
il mio consiglio è quello di cercare di ricondurlo al limite notevole (sen(x))/x che tende a 1 per x che tende a 0, per farlo potresti vedere di riscrivere il denominatore come quadrato di binomio meno il doppio prodotto, cioè (A+B)(A+B)-2AB allora dovrebbe rimanerti 1/a+b -2ab...
Sono abbastanza un disastro con i limiti quindi spero tanto di non aver scritto qualche assurdità, credo che il denominatore si possa scomporre così..
spero di esserti stata utile e un consiglio, quando devi risolvere i limiti non scordarti mai di limiti notevoli e/o asintotici, in molti casi sono l'unica soluzione possibile!
Sono abbastanza un disastro con i limiti quindi spero tanto di non aver scritto qualche assurdità, credo che il denominatore si possa scomporre così..
spero di esserti stata utile e un consiglio, quando devi risolvere i limiti non scordarti mai di limiti notevoli e/o asintotici, in molti casi sono l'unica soluzione possibile!
Ti ringrazio per il suggerimento ma se al denominatore scompongo $A^2 + B^2$ in $(A+B)(A+B)-2AB$ poi dopo non posso scrivere come hai detto tu perchè c'è anche la sottrazione di $-2AB$ ...comunque credo di aver risolto calcolando i due limiti separatamente, cioè prima per A=0 poi per B=0 e con l'ausilio dei limiti notevoli, esce fuori che il limite non esiste perchè dipende dalla direzione!
Il risultato è esatto ma secondo me ci sei arrivato in modo sbagliato. Basta considerare una direzione sola, per esempio per \(B=0, A \to 0\), l'espressione diventa
\[\lim_{A\to 0} \frac{\sin A}{A} \frac{1}{A}, \]
e questo limite chiaramente non esiste.
\[\lim_{A\to 0} \frac{\sin A}{A} \frac{1}{A}, \]
e questo limite chiaramente non esiste.
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