Limitee

[christian951]

ciao ragazzi mi aiutate a fare questo limite?
$ lim x->0 log(e^x+x^2sin(1/x))/(e^(2x)-1) $

non riesco a trovare la soluzione su wolfram,ma a me viene e^-3x quindi 1
ho svolto una volta del'hopital e poi ho fatto il confronto tra numeratore e denominatore ...
help pls!

[Mathita]

Suggerimento:

$\log(e^{x}+x^2\sin(1/x))= \log(e^{x}(1+\frac{x^2\sin(1/x)}{e^{x}}))= \log(e^{x})+\log(1+\frac{x^2\sin(1/x)}{e^{x}})=$

$x+\log(1+\frac{x^2\sin(1/x)}{e^{x}})$

Ora saresti in grado di continuare da solo?

[christian951]

"Mathita":Suggerimento:

$\log(e^{x}+x^2\sin(1/x))= \log(e^{x}(1+\frac{x^2\sin(1/x)}{e^{x}}))= \log(e^{x})+\log(1+\frac{x^2\sin(1/x)}{e^{x}})=$

$x+\log(1+\frac{x^2\sin(1/x)}{e^{x}})$

Ora saresti in grado di continuare da solo?

Ciao grazie mille della spiegazione..ho cotninuato moltiplicando e dividendo per 1/x cosi da trovarmi un limite notevole e alla fine mi trovo con $ (1+x)/e^x $ come argomento del logaritmo quindi mi log(1)...giusto?

[Mathita]

Grazie al trucchetto precedente, il limite si riscrive come:

$\lim_{x\to 0}\frac{x+\ln(1+\frac{x^2\sin(1/x)}{e^{x}})}{e^{2x}-1}=\lim_{x\to 0} \frac{x}{e^{2x}-1}+ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x^2\frac{\sin(1/x)}{e^{x}})}{e^{2x-1}}$

Ora, dopo aver dimostrato con il teorema dei carabinieri che $x^2\frac{\sin(1/x)}{e^x}\to 0\mbox{ per }x\to 0$ e aver applicato i limiti notevoli

$\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1$

$\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1$

Scoprirai che il limite vale $\frac{1}{2}$. Provaci, hai tutti gli elementi che ti servono per portare a termine l'esercizio

[christian951]

scusami ma nel secondo limite non dovrebbe essere (1+sin^2sin(1/x))/e^x? all interno del logaritmo

[Mathita]

Sì, ho corretto, grazie.

[christian951]

figurati era solo per essere sicuro che non stavo sbagliando qualcosa...ora provo come mi hai detto grazie!

[christian951]

Cmq ho provato ma proprio non riesco a trovarli i due limiti notevoli...

[francicko]

$e^x~(1+x) $, quindi possiamo scrivere $log(1+x+x^2×sin (1/x))/(e^(2x)-1)$, l'infinitesimo all'interno dell'argomento logaritmo, $x^2 sin (1/x) $ essendo di ordine superiore rispetto ad $x $ e ' trascurabile, per cui il limite diventa $=lim_(x->0)log(1+x)/(e^(2x)-1)$, moltiplicando e dividendo sia per $x $, a numeratore ed per $2$ a denominatore si ha $lim_(x->0)(x×log(1+x)/ x)/(2×e^(2x-1)/2) $
$=lim_(x->0)(log (1+x)/x)/(2×(e^(2x)-1)/(2x))=1/2$, essendo che i
limiti notevoli $lim_(x->0)log (1+x)/x=1$, ed $lim_(x->0 )(e^(2x)-1)/(2x)=1$

[christian951]

"francicko":$e^x~(1+x) $, quindi possiamo scrivere $log(1+x+x^2×sin (1/x))/(e^(2x)-1)$, l'infinitesimo all'interno dell'argomento logaritmo, $x^2 sin (1/x) $ essendo di ordine superiore rispetto ad $x $ e ' trascurabile, per cui il limite diventa $=lim_(x->0)log(1+x)/(e^(2x)-1)$, moltiplicando e dividendo sia per $x $, a numeratore ed per $2$ a denominatore si ha $lim_(x->0)(x×log(1+x)/ x)/(2×e^(2x-1)/2) $
$=lim_(x->0)(log (1+x)/x)/(2×(e^(2x)-1)/(2x))=1/2$, essendo che i
limiti notevoli $lim_(x->0)log (1+x)/x=1$, ed $lim_(x->0 )(e^(2x)-1)/(2x)=1$

Grazie gentilissimo!! solo non ho capito perchè hai sostituito 1+x con e^x

[francicko]

Ho usato l'asintotico ~(quasi uguale) che in fin dei conti si può ricavare dal limite notevole e viceversa!
Dal limite notevole $ lim_(x->0)(e^x-1)/x=1$ $=> (e^x-1)~x $ $=>e^x~(1+x) $;
Volendo proprio usare esclusivamente il limite notevole si poteva all'interno della parentesi aggiungere e togliere $1$
, dopodiché moltiplicare e dividere la quantità $(e^x-1)$ per $x $, e ci si ritrova all'interno la quantità $(e^x-1)/x $ che tende ad $1$