Limite $x^x$

[francicko]

Ho trovato una dimostrazione del il $lim_(x->0)x^x=1$, $lim_(x->0)(e^logx)^x$, $lim_(x->0)e^(xlogx)$ e sapendo che $lim_(x->0)xlogx=0$
si ha $e^0=1$, conoscete o sapreste darmi una dimostrazione più diretta?
Grazie!

[dan952]

Il limite destro fa 1 quello sinistro non esiste.

[Rigel1]

"dan95":Il limite destro fa 1 quello sinistro non esiste.

Il limite proposto esiste e vale $1$.
Il limite sinistro non può nemmeno essere preso in considerazione (quindi non si può dire né che esiste né che non esiste) dal momento che \(0\) non è un punto di accumulazione per il dominio della funzione intersecato con \((-\infty, 0)\).

@francicko: la dimostrazione mi sembra già abbastanza diretta; a cosa pensi quando parli di una "dimostrazione più diretta"?

[dan952]

Intendevo dire che sarebbe più corretto scrivere $\lim_{x \rarr 0^{+}}x^x=1$ in luogo di $\lim_{x \rarr 0}$ o sbaglio?

[Rigel1]

"dan95":Intendevo dire che sarebbe più corretto scrivere $\lim_{x \rarr 0^{+}}x^x=1$ in luogo di $\lim_{x \rarr 0}$ o sbaglio?

In questo caso, è esattamente la stessa cosa.
Basta infatti rifarsi alla definizione di limite. In questo caso abbiamo una funzione \(f\colon (0, +\infty)\to\mathbb{R}\) (definita da \(f(x) = x^x\)).

Poiché \(0\) è punto di accumulazione per il dominio di \(f\) \(Dom(f) = (0,+\infty)\), per definizione, abbiamo che \(1\) è il limite di \(f\) per \(x\to 0\), dal momento che per ogni \(\epsilon > 0\) esiste \(\delta > 0\) tale che \(|f(x) - 1| < \epsilon\) per ogni \(x\in Dom(f)\cap (-\delta, \delta)\), \(x\neq 0\), e quest'ultimo insieme coincide con l'intervallo \((0,\delta)\).

Analogamente, poiché \(0\) è punto di accumulazione anche per \(Dom(f) \cap (0, +\infty)\), le stesse identiche considerazioni valgono anche quando si va a verificare che \(1\) è il limite destro.

Come già detto, invece, dal momento che \(0\) non è punto di accumulazione di \(Dom(f)\cap (-\infty,0) = \emptyset\), non ha senso parlare di limite sinistro.

[dan952]

Come si dice, sbagliando si impara. Grazie Rigel

[francicko]

Più diretta, in quanto la dimostrazione dipende dalla conoscenza del limite $lim_(x->0)xlogx=0$ che si ottiene con l'uso di De l'Hopital, supponendo che non conosca o non voglia usare de l'Hopital potrei sfruttare il fatto che $lim_(n->infty)root(n)(n)=1$??