Limite trigonometrico con tangente
Buonasera, ho questo limite: $ lim_(x -> pi /2) (1+1/tanx)^(1/(x-pi/2 $
Penso che la strada più ragionevole sia quella di utilizzare il limite notevole $ lim_(x -> 0) (1+kx)^(1/x)=e^k $ magari facendo una sostituzione che non riesco a fare. Nel caso ponessi 1/tanx=k come risulterebbe l'esponente? il limite deve tornare e^-1.
Grazie in anticipo per tutti i suggerimenti
Penso che la strada più ragionevole sia quella di utilizzare il limite notevole $ lim_(x -> 0) (1+kx)^(1/x)=e^k $ magari facendo una sostituzione che non riesco a fare. Nel caso ponessi 1/tanx=k come risulterebbe l'esponente? il limite deve tornare e^-1.
Grazie in anticipo per tutti i suggerimenti
Risposte
$lim_(x->pi/2)(1+cosx/sinx)^(1/(x-pi/2)) $ $=lim ((1+cosx/sinx)^(sinx/cosx))^(cosx/((x-pi/2)sinx)) $ $ =lim ((1+cosx/sinx)^(sin/cosx))^(-sin(pi/2-x)/(pi/2-x)×1/sinx)$ $=e^(-1×1/sin (pi/2))=e^(-1×1/1)=e^(-1)=1/e $ sapendo che per gli archi associati risulta $cosx=sin (pi/2-x) $
Ciao giacomoguasta98,
Poni $t := tanx \implies x = arctan t$. Per $x \to frac{\pi}{2}$ si ha $t \to +infty$. Poi tieni presente il limite notevole $\lim_{t \to \infty}(1 + frac{1}{t})^t = e$, mentre l'esponente diventerebbe $frac{1/t}{arctan t - frac{\pi}{2}}$ ed il $\lim_{t \to \infty} frac{1/t}{arctan t - frac{\pi}{2}}$ è già stato proposto da thegeekbay in questo post: si risolve usando la regola di l'Hopital e si ottiene $- 1$, da cui il risultato $e^{-1}$.
Poni $t := tanx \implies x = arctan t$. Per $x \to frac{\pi}{2}$ si ha $t \to +infty$. Poi tieni presente il limite notevole $\lim_{t \to \infty}(1 + frac{1}{t})^t = e$, mentre l'esponente diventerebbe $frac{1/t}{arctan t - frac{\pi}{2}}$ ed il $\lim_{t \to \infty} frac{1/t}{arctan t - frac{\pi}{2}}$ è già stato proposto da thegeekbay in questo post: si risolve usando la regola di l'Hopital e si ottiene $- 1$, da cui il risultato $e^{-1}$.
grazie mille
Io avevo provato a risolverlo cosi:
$ lim_(x -> pi/2) (1+1/tanx)^(1/(x-pi/2) $
ho fatto questa sostituzione: $ x-pi/2=k $ ottenendo $ lim_(k -> 0) (1+1/(tank+pi/2))^(1/k) $ = $ lim_(k -> 0) (1-tank)^(1/k) $ considerando gli angoli associati.
E infine moltiplicando e dividendo per k: $ lim_(k -> 0) (1-ktank/k)^(1/k) $ = $ e^-1 $ per il limite notevole che avevo citato nel post. Va bene secondo voi? grazie in anticipo.
Io avevo provato a risolverlo cosi:
$ lim_(x -> pi/2) (1+1/tanx)^(1/(x-pi/2) $
ho fatto questa sostituzione: $ x-pi/2=k $ ottenendo $ lim_(k -> 0) (1+1/(tank+pi/2))^(1/k) $ = $ lim_(k -> 0) (1-tank)^(1/k) $ considerando gli angoli associati.
E infine moltiplicando e dividendo per k: $ lim_(k -> 0) (1-ktank/k)^(1/k) $ = $ e^-1 $ per il limite notevole che avevo citato nel post. Va bene secondo voi? grazie in anticipo.
x@giacomoguasta98
Scusa, ma la soluzione che ho proposto mi sembra la più immediata, e fa uso degli archi associati, infatti $cosx=sin(pi/2-x) $, sostituendo ad esponente si ha $lim_(x->pi/2)sin (pi/2-x)/(x-pi/2) $ $=lim_(x->pi/2)-sin(pi/2-x)/(pi/2-x)=-1$, non è necessario ricorrere ad Hopital.
Scusa, ma la soluzione che ho proposto mi sembra la più immediata, e fa uso degli archi associati, infatti $cosx=sin(pi/2-x) $, sostituendo ad esponente si ha $lim_(x->pi/2)sin (pi/2-x)/(x-pi/2) $ $=lim_(x->pi/2)-sin(pi/2-x)/(pi/2-x)=-1$, non è necessario ricorrere ad Hopital.
@giacomoguasta98:
la tua soluzione certamente non è corretta. Nel limite notevole $lim_(x -> 0) (1+kx)^(1/x)=e^k$ che hai citato inizialmente $k$ è una costante, non la variabile che tende a zero come nel tuo caso...
@francicko: non mi è chiara la tua soluzione nel primo passaggio. Se si passa al limite, si passa al limite per tutto: non si può passare al limite solo parzialmente per ciò che ci conviene ($sin x$) e non per il resto.
la tua soluzione certamente non è corretta. Nel limite notevole $lim_(x -> 0) (1+kx)^(1/x)=e^k$ che hai citato inizialmente $k$ è una costante, non la variabile che tende a zero come nel tuo caso...
@francicko: non mi è chiara la tua soluzione nel primo passaggio. Se si passa al limite, si passa al limite per tutto: non si può passare al limite solo parzialmente per ciò che ci conviene ($sin x$) e non per il resto.
x@pilloeffe.
Hai ragione!!
Ho modificato il messaggio precedente, su in alto, adesso dovrebbe andar bene, puoi controllare?
Grazie!
Hai ragione!!
Ho modificato il messaggio precedente, su in alto, adesso dovrebbe andar bene, puoi controllare?
Grazie!
Ciao francicko,
Sì, ora è corretta, a parte il $\sin$ ad esponente invece di $\sin x$, ma trattasi di errore veniale...
Ma figurati, di niente: una svista può capitare a tutti, sottoscritto incluso...
Sì, ora è corretta, a parte il $\sin$ ad esponente invece di $\sin x$, ma trattasi di errore veniale...
Ma figurati, di niente: una svista può capitare a tutti, sottoscritto incluso...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo