Limite trigonometrico, che cosa ha fatto? Passaggio strano..

[Baldur1]

$lim_(x -> 0) ((1-cosx)(1+cosx + cos^2 x)) / (2 x 2senx cosx) = 1/4 lim_(x -> 0) ((1-cosx)(1+cosx + cos^2 x)) / (x senx cosx)$

Quell' $1/4$, da dove l'ha preso??

Grazie mille

[gio73]

"Baldur":$lim_(x -> 0) ((1-cosx)(1+cosx + cos^2 x)) / (2 x 2senx cosx) = 1/4 lim_(x -> 0) ((1-cosx)(1+cosx + cos^2 x)) / (x senx cosx)$

Quell' $1/4$, da dove l'ha preso??

Grazie mille

forse
$lim_(x -> 0) ((1-cosx)(1+cosx + cos^2 x)) / (2 x 2senx cosx) = lim_(x -> 0) ((1-cosx)(1+cosx + cos^2 x)) / (2*2 x senx cosx) = $ $lim_(x -> 0) ((1-cosx)(1+cosx + cos^2 x)) /(4 x senx cosx) = lim_(x -> 0) 1/4 ((1-cosx)(1+cosx + cos^2 x)) / (x senx cosx)$

[Sk_Anonymous]

"Passaggio strano"?

@gio73: senza il "forse".

[Baldur1]

Ammazza, mi sembra un cavillo che per uno che non mastica matematica tutti i giorni non sia così immediato da notare

E' giusto così allora? Ma una cosa: $1/4$ il libro lo ha messo prima del simbolo di limite, questo per far in modo che non sia di intralcio per i limiti notevoli giusto?

Un altro passaggio che non ho capito, per quanto riguarda un altro limite:

$lim_(x -> 0) (3x 5x sen5x) / (3x 5x sen3x) = (lim_(x -> 0) (sen5x) / (5x) 5x) / (lim_(x -> 0) (sen3x) / (3x) 3x) = 5/3$

Ci ho ragionato un po' ma.... grazie

inoltre $lim_(x -> 0) (sen5x) / (5x)$ e $lim_(x -> 0) (sen3x) / (3x)$ non mi pare che siano proprio uguali al limite notevole $lim_(x -> 0) (senx) / (x)$: a uno c'è il 3 di mezzo, e all'altro il 5!

[Sk_Anonymous]

"Baldur":[...] E' giusto così allora? Ma una cosa: $1/4$ il libro lo ha messo prima del simbolo di limite, questo per far in modo che non sia di intralcio per i limiti notevoli giusto? [...]

Mmm, non è proprio così. \(\displaystyle \frac{1}{4} \) è una costante che non dipende dall'operazione "passaggio al limite", e quindi può essere spostata a piacimento.

"Baldur":Un altro passaggio che non ho capito, per quanto riguarda un altro limite:

$lim_(x -> 0) (3x 5x sen5x) / (3x 5x sen3x) = (lim_(x -> 0) (sen5x) / (5x) 5x) / (lim_(x -> 0) (sen3x) / (3x) 3x) = 5/3$

Ci ho ragionato un po' ma.... grazie

inoltre $lim_(x -> 0) (sen5x) / (5x)$ e $lim_(x -> 0) (sen3x) / (3x)$ non mi pare che siano proprio uguali al limite notevole $lim_(x -> 0) (senx) / (x)$: a uno c'è il 3 di mezzo, e all'altro il 5!

Basta porre, per esempio, \(\displaystyle t=3x \). Si ha che \(\displaystyle t \to 0 \) se \(\displaystyle x \to 0 \) e quindi \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \sin (3x)}{3x}=\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} =1 \]

[Baldur1]

"Delirium":[quote="Baldur"][...] E' giusto così allora? Ma una cosa: $1/4$ il libro lo ha messo prima del simbolo di limite, questo per far in modo che non sia di intralcio per i limiti notevoli giusto? [...]

Mmm, non è proprio così. \(\displaystyle \frac{1}{4} \) è una costante che non dipende dall'operazione "passaggio al limite", e quindi può essere spostata a piacimento.

"Baldur":Un altro passaggio che non ho capito, per quanto riguarda un altro limite:

$lim_(x -> 0) (3x 5x sen5x) / (3x 5x sen3x) = (lim_(x -> 0) (sen5x) / (5x) 5x) / (lim_(x -> 0) (sen3x) / (3x) 3x) = 5/3$

Ci ho ragionato un po' ma.... grazie

inoltre $lim_(x -> 0) (sen5x) / (5x)$ e $lim_(x -> 0) (sen3x) / (3x)$ non mi pare che siano proprio uguali al limite notevole $lim_(x -> 0) (senx) / (x)$: a uno c'è il 3 di mezzo, e all'altro il 5!

Basta porre, per esempio, \(\displaystyle t=3x \). Si ha che \(\displaystyle t \to 0 \) se \(\displaystyle x \to 0 \) e quindi \[\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \sin (3x)}{3x}=\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} =1 \][/quote]

Ah ho capito, $1/4$ è una costante moltiplicativa che può essere portata fuori dal limite.

Ok ma il libro non cambia variabile, e poi come rimane quel $(5x) / (3x)$ subito dopo?
Sto seguendo su un libro edizioni Simone, l'esame di analisi matematica. E' fatto bene perchè ci sono molti molti esercizi svolti e commentati, ma non mi piace il fatto che non ti dicano proprio tutto sui passaggi, molte cose le considerano ovvie

[Kashaman]

Rimane quel $5x/3x$ perché hai moltiplicato e diviso per $5x $ e $3x$.
Esempio Fesso :
$lim_{x->0}(sinx / sin(2x) ) = lim_{x->0}(((sinx *x)/x)/ ((sin(2x) *2x)/(2x)) ) = lim_{x->0}((x) / (2x) ) = 1/2 $
Comunque.. c'è anche questo teorema.

Se $\lambda in RR$ non nullo.Sia $A sube RR$ . $f : A -> RR $ , $x_0 \in Dr(A)$. (x_0 di accumulazione per $A$) , $\lambda f : A->RR$ definita ponendo $AA x in A : (\lambda f )(x)= \lambda f(x) $.
Allora vale la seguente implicazione :
$ ( EE lim_{x-> x_0} f(x)= l ) => EE lim_{x->x_0} (\lambda f )(x)= \lambda l $.

Sotto la dimostrazione :

Supponiamo
Per ipotesi $EE lim_{x-> x_0} f(x)= l $. In corrispondenza di $ \epsilon/|\lambda|$ (le stanghette indicano il valore assoluto) Si ha che $EE \delta >0 \: t.c \: AA x in Domf nn A \{x_0} : |x-x_0|<\delta => |f(x)-l|<\epsilon/(|\lambda|)$(1) (qui ho semplicemente applicato la definizione di limite per un certo valore di $\epsilon$.).
Poiché $|\lambda|>0$ , moltiplicando la diseguaglianza (1) per $|\lambda|$ si ha che : $EE \delta >0 \: t.c \: AA x in Dom(\lambda f) nn A \\{x_0} : |x-x_0|<\delta => |\lambda f(x) - \lambda l | < \epsilon$.
Cioè Abbiamo provato che $ EE lim_{x->x_0} (\lambda f )(x)= \lambda l $

Diciamo che è questo teorema che ti autorizza a portare quell'1/4 fuori dal limite.

[Baldur1]

Ma no perchè da $lim_(x -> 0) (3x 5x sen5x) / (3x 5x sen3x)$ (1)

è passato a $(lim_(x -> 0) (sen5x) / (5x) 5x) / (lim_(x -> 0) (sen3x) / (3x) 3x)$ (2)

utilizzando solo ciò che aveva alla (1)! e poi la regola non dice che puoi moltiplicare o dividere numeratore e denominaore per la STESSA quantità? Come fai, come hai detto tu, a moltiplicare e a dividere per due quantità diverse? ... io so che si può O moltiplicare numeratore e denominatore per la STESSA quantità, OPPURE dividere numeratore e denominatore sempre per la STESSA quantità...

[Kashaman]

Mmh... Immagino che abbia operato utilizzando questo limite notevole :
$lim_{x->0} (x/sinx) =1$

[Sk_Anonymous]

"Kashaman":[...]
Comunque.. c'è anche questo teorema.

Se $\lambda in RR$ non nullo.Sia $A sube RR$ . $f : A -> RR $ , $x_0 \in Dr(A)$. (x_0 di accumulazione per $A$) , $\lambda f : A->RR$ definita ponendo $AA x in A : (\lambda f )(x)= \lambda f(x) $.
Allora vale la seguente implicazione :
$ ( EE lim_{x-> x_0} f(x)= l ) => EE lim_{x->x_0} (\lambda f )(x)= \lambda l $.

Sotto la dimostrazione :

Supponiamo
Per ipotesi $EE lim_{x-> x_0} f(x)= l $. In corrispondenza di $ \epsilon/|\lambda|$ (le stanghette indicano il valore assoluto) Si ha che $EE \delta >0 \: t.c \: AA x in Domf nn A \{x_0} : |x-x_0|<\delta => |f(x)-l|<\epsilon/(|\lambda|)$(1) (qui ho semplicemente applicato la definizione di limite per un certo valore di $\epsilon$.).
Poiché $|\lambda|>0$ , moltiplicando la diseguaglianza (1) per $|\lambda|$ si ha che : $EE \delta >0 \: t.c \: AA x in Dom(\lambda f) nn A \\{x_0} : |x-x_0|<\delta => |\lambda f(x) - \lambda l | < \epsilon$.
Cioè Abbiamo provato che $ EE lim_{x->x_0} (\lambda f )(x)= \lambda l $

Diciamo che è questo teorema che ti autorizza a portare quell'1/4 fuori dal limite.

Magari evita questa roba. Lo vedi anche tu che non è il caso...