Limite trigonometrico

[Cavia1]

Quanto fa

limite per n->+00 di sen((pi/sqtr(5))*((1+sqrt(5))/2)^n)?

Bello, eh?

Cavia

[Sk_Anonymous]

Da come e' scritto il quesito ( ma non giurerei
di averlo interpretato bene) il risultato sembrerebbe
essere sin(+inf).Questa espressione ammette un
limite minimo=-1 ed un limite massimo=+1,oscillando
la funzione sin tra questi due valori.
Fammi sapere.
karl.

[Cavia1]

No: il limite esiste, ovvero il maxlim e il minlim sono uguali tra loro!

Cavia

[MaMo2]

Consideriamo la formula di Binet che esprime l'ennesimo numero della successione di Fibonacci:
F(n) = [((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n]/sqrt(5)
Da essa si ha:
[((1 + sqrt(5))/2)^n]/sqrt(5) = F(n) + [(1 - sqrt(5))/2)^n]/sqrt(5)
Inserendo questo risultato nel limite proposto si ottiene:
sen[pi*(F(n) + ((1 - sqrt(5))/2)^n)/sqrt(5))]
Per n -> + 00 il termine (1 - sqrt(5))/2)^n tende a 0 perciò il limite diventa:
sen[pi(F(n))]
Ma essendo F(n) un numero naturale il limite diventa 0.

[Cavia1]

Bravissimo Mamo, risposta esatta! In realtà la dimostrazione è "quasi" esatta, perché non puoi fare il limite solo di una parte della formula e lasciare F(n) nell'altra parte: si possono fare molti esempi in qui questo procedimento porta a un errore se le due velocità di convergenza sono moltto diverse. In questo caso comunque funziona e, comunque, per la dimostrazione esatta basta usare la formula di addizione del seno. Ho trovato questo bellissimo problema e la relativa soluzione sul giornalino di giochi matematici "Il Leonardo", di cui ho la fortuna di ricevere la versione cartacea (vedi www.itisvinci.com). Lo conosci anche tu? Merita davvero di essere letto!

Cavia