Limite [tex]f\left(x\right)=\left(x^{2}-A^{2}\right)\log\left(|x^{2}-A^{2}|\right)-x^{2}[/tex]
Salve, avendo il seguente studio di funzione
[tex]f\left(x\right)=\left(x^{2}-A^{2}\right)\log\left(|x^{2}-A^{2}|\right)-x^{2}[/tex]
e considerando [tex]x>0[/tex]
da traccia delle soluzioni si ha che
[tex]\underset{x\rightarrow A^{+}}{\lim}f\left(x\right)=\underset{x\rightarrow A^{-}}{\lim}f\left(x\right)=-A^{2}[/tex]
Sto provando a raggiungere tale risultato ma mi incastro sul fatto che se si guarda la prima parentesi a sinistra e il logaritmo, si giunge a una forma indeterminata di 0 * infinito. Ho provato a fare qualche raggruppamento affinché potessi applicare gli sviluppi di Taylor ma mi fermo qui
[tex]\underset{x\rightarrow A^{+}}{\lim}\left(x^{2}\left(1-\frac{A^{2}}{x^{2}}\right)\right)\log\left(x^{2}\left(1-\frac{A^{2}}{x^{2}}\right)\right)-x^{2}=[/tex]
[tex]=\underset{x\rightarrow A^{+}}{\lim}\left(x^{2}\left(1-\frac{A^{2}}{x^{2}}\right)\right)\left(\log\left(x^{2}\right)+\log\left(1-\frac{A^{2}}{x^{2}}\right)\right)-x^{2}[/tex]
[tex]f\left(x\right)=\left(x^{2}-A^{2}\right)\log\left(|x^{2}-A^{2}|\right)-x^{2}[/tex]
e considerando [tex]x>0[/tex]
da traccia delle soluzioni si ha che
[tex]\underset{x\rightarrow A^{+}}{\lim}f\left(x\right)=\underset{x\rightarrow A^{-}}{\lim}f\left(x\right)=-A^{2}[/tex]
Sto provando a raggiungere tale risultato ma mi incastro sul fatto che se si guarda la prima parentesi a sinistra e il logaritmo, si giunge a una forma indeterminata di 0 * infinito. Ho provato a fare qualche raggruppamento affinché potessi applicare gli sviluppi di Taylor ma mi fermo qui
[tex]\underset{x\rightarrow A^{+}}{\lim}\left(x^{2}\left(1-\frac{A^{2}}{x^{2}}\right)\right)\log\left(x^{2}\left(1-\frac{A^{2}}{x^{2}}\right)\right)-x^{2}=[/tex]
[tex]=\underset{x\rightarrow A^{+}}{\lim}\left(x^{2}\left(1-\frac{A^{2}}{x^{2}}\right)\right)\left(\log\left(x^{2}\right)+\log\left(1-\frac{A^{2}}{x^{2}}\right)\right)-x^{2}[/tex]
Risposte
Un limite importante è il seguente:
$$\lim_{t \to 0^+} t \log t=0$$
Lo puoi dimostrare in vari modi, anche con De L'Hôpital scrivendo $t \log t=\frac{\log t}{\frac{1}{t}}$.
Dunque, se hai $|t|$ in luogo di $t$ nell'argomento del logaritmo, puoi considerare
$$\lim_{t \to 0} t \log |t|$$
Che è comunque $0$, si può ricondurre al suddetto limite per disparità di $t \log |t|$.
Dato che $x^2-A^2 \to 0$ per $x \to A$, ti puoi ricondurre a quel limite.
$$\lim_{t \to 0^+} t \log t=0$$
Lo puoi dimostrare in vari modi, anche con De L'Hôpital scrivendo $t \log t=\frac{\log t}{\frac{1}{t}}$.
Dunque, se hai $|t|$ in luogo di $t$ nell'argomento del logaritmo, puoi considerare
$$\lim_{t \to 0} t \log |t|$$
Che è comunque $0$, si può ricondurre al suddetto limite per disparità di $t \log |t|$.
Dato che $x^2-A^2 \to 0$ per $x \to A$, ti puoi ricondurre a quel limite.
Ciao Caterpillar,
Fermo restando il limite importante che ti ha già scritto Mephlip, si può anche scrivere
$ f(x) = (x^2 - A^2)\log(|x^2-A^2|) - x^2 = (x^2 - A^2)\log(|x^2-A^2|) - (x^2 - A^2) - A^2 $
e porre direttamente $t := x^2 - A^2 $, da cui si vede subito che
Fermo restando il limite importante che ti ha già scritto Mephlip, si può anche scrivere
$ f(x) = (x^2 - A^2)\log(|x^2-A^2|) - x^2 = (x^2 - A^2)\log(|x^2-A^2|) - (x^2 - A^2) - A^2 $
e porre direttamente $t := x^2 - A^2 $, da cui si vede subito che
"Caterpillar":
da traccia delle soluzioni si ha che
$ \underset{x \to A^{+}}{\lim}f(x)=\underset{x \to A^{-}}{\lim}f(x) = -A^2 $
Mi è stato riferito di usare questo limite notevole e devo dire che è la soluzione con cui mi trovo meglio
*foto rimossa**
*foto rimossa**
Caterpillar, a parte che è lo stesso limite che ti ha già suggerito Mephlip, sei a 352 messaggi...
Potresti cortesemente rimuovere quella foto orrenda dal tuo post precedente?
Ti scrivo il contenuto dell'immagine con le formule come prescritto dal regolamento del forum:
$\lim_{x \to 0^+} x \cdot log_a (x) \stackrel{y := 1/x}[=] \lim_{y \to +\infty} \frac{- log_a (y)}{y} = 0 $
Potresti cortesemente rimuovere quella foto orrenda dal tuo post precedente?
Ti scrivo il contenuto dell'immagine con le formule come prescritto dal regolamento del forum:
$\lim_{x \to 0^+} x \cdot log_a (x) \stackrel{y := 1/x}[=] \lim_{y \to +\infty} \frac{- log_a (y)}{y} = 0 $
$\lim_{x \to 0^+} x \cdot log_a (x) \stackrel{y := 1/x}[=] \lim_{y \to +\infty} \frac{- log_a (y)}{y} = 0 $
foto rimossa
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