Limite tendente ad infinito con radici. Risoluzione senza infiniti, taylor e de l'hopital

[renlo676]

Ciao a tutti, qualcuno è in grado di aiutarmi?

$\lim_{x \to \infty} x(root(3)(2+ x^6)- root(5)(3+x^10)) $

dovrebbe risultare

$ 0 $

I passaggi che ho fatto sono finalizzati all'applicazione del limite notevole della potenza con differenza, ma il risultato non torna...

$\lim_{x \to \infty} x^3root(3)(1 + 2/x^6)-x^3 root(5)(1 + 3/x^10) $

$\lim_{x \to \infty} (x^3root(3)(1 + 2/x^6)-x^3) -(x^3root(5)(1 + 3/x^10)-x^3) $

$\lim_{x \to \infty} x^3(root(3)(1 + 2/x^6)-1) -x^3(root(5)(1 + 3/x^10)-1) $

$\lim_{x \to \infty} (root(3)(1 + 2/x^6)-1)/(1/x^3) -(root(5)(1 + 3/x^10)-1)/(1/x^3) $

In questo modo mi sono ricondotto al limite notevole sopra citato. Ossia:

$\lim_{f(x) \to \0} ((1+f(x))^c -1)/(f(x))$

pertanto

$1/3 - 1/5 = 2/15 != 0$

Riuscite ad aiutarmi con una soluzione che non faccia utilizzo di infiniti, taylor e de l'hopital? Grazie a chi riuscira a darmi qualche dritta

[Ziben]

Ciao,
non ti sei ancora ricondotto al limite notevole da te citato. Prendendo, ad esempio il primo addendo hai che $2/x^6 \ne 1/x^3$. Cosa ti manca da fare per rincondurti al limite notevole che vorresti utilizzare?

[renlo676]

Immagino sia cosi

$\lim_{x \to \infty} 2x^-3(root(3)(1 + 2/x^6)-1)/(2/x^3(1/x^3)) -3x^-7(root(5)(1 + 3/x^10)-1)/(3/x^7(1/x^3)) $

$\lim_{x \to \infty} 2x^-3(root(3)(1 + 2/x^6)-1)/(2/x^6) -3x^-7(root(5)(1 + 3/x^10)-1)/(3/x^10) $

$ (2/x^3*1/3)-(3/x^7 *1/5) $

$ 2/(3x^3)-3/(5x^7) = 0 - 0=0 $

[Ziben]