Limite tendente a un valore finito di un radicale
Ciao ragazzi!
Ho un quesito da cui non riesco a venire a capo. Il seguente esercizio mi ha messo in crisi e a pochi giori da complto di matematica non so come venirne fuori.
[formule] $\lim_{x \to \8} sqrt (x+1) =3 $ [/formule]
Questo limite si risolve distinguendo in casi, (vi riporto la risoluzione di una mia amica):
$\{ [sqrt (x+1) > 3-ε] , [sqrt (x+1)< 3+ε] :}$
A questo punto si distunge ulteriormente in ε > 3 e 0<ε<3 (per quale motivo?)
E ora il vuoto più assoluto. Non riesco a capire il caso generale, infatti non valgono le classiche regole per la risoluzione di una diseqauzione irrazionale:
Per ε > 3
$\{ [x+1 >= 0] , [x> -1 + (3+ε )^2] :}$
Per 0<ε<3
$\{ [x> -1 + (3+ε )^2] ,[x<-1 + (3+ε )^2] :}$
Ho un quesito da cui non riesco a venire a capo. Il seguente esercizio mi ha messo in crisi e a pochi giori da complto di matematica non so come venirne fuori.
[formule] $\lim_{x \to \8} sqrt (x+1) =3 $ [/formule]
Questo limite si risolve distinguendo in casi, (vi riporto la risoluzione di una mia amica):
$\{ [sqrt (x+1) > 3-ε] , [sqrt (x+1)< 3+ε] :}$
A questo punto si distunge ulteriormente in ε > 3 e 0<ε<3 (per quale motivo?)
E ora il vuoto più assoluto. Non riesco a capire il caso generale, infatti non valgono le classiche regole per la risoluzione di una diseqauzione irrazionale:
Per ε > 3
$\{ [x+1 >= 0] , [x> -1 + (3+ε )^2] :}$
Per 0<ε<3
$\{ [x> -1 + (3+ε )^2] ,[x<-1 + (3+ε )^2] :}$
Risposte
Inoltre, al valore ε che valore devo assegnare per verificare se il limite presenta o meno un intorno di 8? E cone posso verificare se ho fatto tutto corettamente?
Ciao Ardu99,
Essendo $\epsilon $ una quantità arbitraria "piccola", terrei per buona la soluzione per $0 < \epsilon < 3 $, dove però salvo errori mi risulta il sistema seguente:
$\{ [x > -1 + (3 - \epsilon )^2] ,[x < -1 + (3 + \epsilon )^2] :}$
Rimettendo insieme questo risultato in un'unica disequazione si ha:
$ 8 - 6\epsilon + \epsilon^2 < x < 8 + 6\epsilon + \epsilon^2 $
cioè
$ - 6\epsilon + \epsilon^2 < x - 8 < 6\epsilon + \epsilon^2 $
Siccome $\epsilon^2 \le 4\epsilon$, si può scrivere
$ - 10\epsilon \le - 6\epsilon + \epsilon^2 < x - 8 < 6\epsilon + \epsilon^2 \le 10\epsilon$
Ecco trovato l'intorno di $8$, perché si trova proprio
$|x - 8 | < \delta(\epsilon) $
ove $ \delta(\epsilon) := 10\epsilon $.
Essendo $\epsilon $ una quantità arbitraria "piccola", terrei per buona la soluzione per $0 < \epsilon < 3 $, dove però salvo errori mi risulta il sistema seguente:
$\{ [x > -1 + (3 - \epsilon )^2] ,[x < -1 + (3 + \epsilon )^2] :}$
Rimettendo insieme questo risultato in un'unica disequazione si ha:
$ 8 - 6\epsilon + \epsilon^2 < x < 8 + 6\epsilon + \epsilon^2 $
cioè
$ - 6\epsilon + \epsilon^2 < x - 8 < 6\epsilon + \epsilon^2 $
Siccome $\epsilon^2 \le 4\epsilon$, si può scrivere
$ - 10\epsilon \le - 6\epsilon + \epsilon^2 < x - 8 < 6\epsilon + \epsilon^2 \le 10\epsilon$
Ecco trovato l'intorno di $8$, perché si trova proprio
$|x - 8 | < \delta(\epsilon) $
ove $ \delta(\epsilon) := 10\epsilon $.
Ciao! Grazie per la risposta, ma non ho capito perché il sistema risultante è quello, non trovo da nessuna parte il caso generale. Nel senso che non ho la minima idea del perché le disequazioni si compongano in quel modo, credo che da qualche parte ci sia una spiegazione logica ? 
"Ardu99":
Grazie per la risposta
Prego!
"Ardu99":
non ho capito perché il sistema risultante è quello
Beh, sarai d'accordo che non può essere
"Ardu99":
Per $0 < \epsilon < 3 \implies \{ [x> -1 + (3+ε )^2] ,[x<-1 + (3+ε )^2] :}$
perché, molto semplicemente, non avrebbe soluzione: $x$ non può essere contemporaneamente maggiore e minore della stessa quantità $-1 + (3+ε )^2 $.
"Ardu99":
non trovo da nessuna parte il caso generale
Perdonami, ma qui non ho capito io: cosa intendi per "caso generale"?
"Ardu99":
perché le disequazioni si compongano in quel modo
Basta che dai un'occhiata al sistema: se $x > f(\epsilon)$ e $x < g(\epsilon) \implies f(\epsilon) < x < g(\epsilon) $
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