Limite Taylor [Risolto]
Salve a tutti
mi servirebbe una mano con questo limite da svolgere con gli sviluppi di Taylor,
il problema nasce dal fatto che non riesco a semplificare una graziosa $x^3$
sviluppando $cosx$ al quinto ordine e il $sinx$ al sesto
$lim_(x->0)(arctan(sin x)-x*cosx)/(x^5)$
Grazie mille a chiunque passi da queste parti!
Ciao!
mi servirebbe una mano con questo limite da svolgere con gli sviluppi di Taylor,
il problema nasce dal fatto che non riesco a semplificare una graziosa $x^3$
sviluppando $cosx$ al quinto ordine e il $sinx$ al sesto
$lim_(x->0)(arctan(sin x)-x*cosx)/(x^5)$
Grazie mille a chiunque passi da queste parti!
Ciao!
Risposte
bè non devi per forza trovare un modo per semplificare quel $x^5$. Ad esempio a me viene al num. $x^3$. Quindi il limite tenderà a $+\infty$
Invece di applicare Taylor, puoi semplicemente applicare i limiti notevoli ... ti semplifichi la vita 
@stefano_89: il limite è finito la funzione non ammette asintoto verticale
@aliseo: che limite notevole applicheresti?
$lim_(x->0)arctan(x)/x=1$ ?
sviluppando il seno al primo ordine? ma con $x*cosx$ come mi comporto?
@aliseo: che limite notevole applicheresti?
$lim_(x->0)arctan(x)/x=1$ ?
sviluppando il seno al primo ordine? ma con $x*cosx$ come mi comporto?
ah.. sicuro che abbia limite ? perchè cmq $arctg(sinx) = x - x^3/3$ considerando $sinx = x$. e $-xcos(x) = -x + x^3/2$ Quindi non c'è molto da fare..
Mmmmmmm...... credo che fisher abbia ragione. Infatti
$\arctan(\sin x)=\arctan(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))=(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))-1/3\cdot(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^3+1/5(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^5+o((x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^5)=$
$=x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)-1/3(x^3-x^5/2+o(x^5))+1/5(x^5+o(x^5))+o(x^5)=x-x^3/2+45/120 x^5+o(x^5)=x-x^3/2+3/8 x^5+o(x^5)$
ed essendo
$-x\ \cos x=-x+x^3/2-x^5/24+o(x^5)$
segue che
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arctan(\sin x)-x\ \cos x}{x^5}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-x^3/2+3/8 x^5+o(x^5)-x+x^3/2-x^5/24+o(x^5)}{x^5}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^5/3}{x^5}=1/3$.
Attenti quando fate gli sviluppi: si parte dalla funzione più interna e man mano si procede con quelle esterne, cancellando tutte le potenze di troppo!
$\arctan(\sin x)=\arctan(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))=(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))-1/3\cdot(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^3+1/5(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^5+o((x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^5)=$
$=x-x^3/6+x^5/120+o(x^5)-1/3(x^3-x^5/2+o(x^5))+1/5(x^5+o(x^5))+o(x^5)=x-x^3/2+45/120 x^5+o(x^5)=x-x^3/2+3/8 x^5+o(x^5)$
ed essendo
$-x\ \cos x=-x+x^3/2-x^5/24+o(x^5)$
segue che
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arctan(\sin x)-x\ \cos x}{x^5}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-x^3/2+3/8 x^5+o(x^5)-x+x^3/2-x^5/24+o(x^5)}{x^5}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^5/3}{x^5}=1/3$.
Attenti quando fate gli sviluppi: si parte dalla funzione più interna e man mano si procede con quelle esterne, cancellando tutte le potenze di troppo!
Grazie Ciampax!
avevo sviluppato come te sia il seno che il coseno! il problema era l'arcotangente e rimane tutt'ora per me!
l'hai sviluppata al quinto ordine.. ma... poi come hai semplificato???
mi sfugge qualcosa.. (di rilevante!)
avevo sviluppato come te sia il seno che il coseno! il problema era l'arcotangente e rimane tutt'ora per me!
l'hai sviluppata al quinto ordine.. ma... poi come hai semplificato???
mi sfugge qualcosa.. (di rilevante!)
Nell'arcotangente devi stare attento a prendere tutti i termini che abbiano grado 1, 3 e 5. Nel primo, la cosa è facile, visto che i tre termini che ho messo, ricavati dallo sviluppo del seno, sono quelli che servono. Nel secondo, osserva che dovendo sviluppare un cubo, basterà prendere solo il cubo del primo termine e il triplo prodotto del quadrato del primo termine e del secondo. Infatti, sia il cubo degli altri termini, che i vari prodotti misti, ti daranno sempre esponenti maggiori di 5, e quindi non ne hai bisogno. Infine nell'ultimo, essendo una potenza con esponente 5, l'unico termine utile sarà la quinta potenza del primo (ti dà esattamente un grado 5) mentre le altre vanno scartate perché risultano maggiori.
E' un po' più chiaro, adesso?
E' un po' più chiaro, adesso?
E' chiaro che l'esame andrà malissimo!!!!
ero totalmente all'oscuro che gli o piccolo celassero tante proprietà
Ti ringrazio Ciampax!
Vedrò di studiare meglio! Alla prossima!
ero totalmente all'oscuro che gli o piccolo celassero tante proprietà
Ti ringrazio Ciampax!
Vedrò di studiare meglio! Alla prossima!
Prego, quando hai bisogno, chiedi. Un'ultima cosa: per risolvere bene gli esercizi con gli sviluppi in serie, ci vuole tanta, tanta pratica... da un certo momento in poi, lo vedi ad occhio dove devi andare a parare! 
@ciampax: ciao credo che a questo punto servirebbe anche a me un chiarimento su quel $arctg(senx)$ anzi più in genere sugli sviluppi di funzioni composte.
Io per risolverlo avevo provato a sviluppare il polinomio facendo proprio la derivata della funzione composta, cioè:
$arcyg(senx) = arctg(sen(0)) + cos(0)/(1 + sen(0))x + (-sen(0)(1 + sen(0)) - cos(0)cos(0))/(1 + sen(0))^2 x^2$ e quindi mi verrebbe un termine in $x^2$.. Eppure la derivata mi pare corretta..
Sapresti aiutarmi ?
Io per risolverlo avevo provato a sviluppare il polinomio facendo proprio la derivata della funzione composta, cioè:
$arcyg(senx) = arctg(sen(0)) + cos(0)/(1 + sen(0))x + (-sen(0)(1 + sen(0)) - cos(0)cos(0))/(1 + sen(0))^2 x^2$ e quindi mi verrebbe un termine in $x^2$.. Eppure la derivata mi pare corretta..
Sapresti aiutarmi ?
Ma no, sbagli proprio nell'impostazione di base. Allora, per prima cosa ti scrivi gli sviluppi delle funzioni elementari presenti, nel tuo caso la funzione seno e la funzione arcotangente:
$\sin t=t-t^3/6+t^5/120+o(t^5)$ e $\arctan t=t-t^3/3+t^5/5+o(t^5)$.
A questo punto vai a sostituire, ottenendo:
$\arctan(\sin x)=(t-t^3/6+t^5/120+o(t^5))-1/3(t-t^3/6+t^5/120+o(t^5))^3+1/5(t-t^3/6+t^5/120+o(t^5))^5+o(t-t^3/6+t^5/120+o(t^5))=$
e supponendo tu voglia determinare lo sviluppo al quinto ordine,
$=t-t^3/6+t^5/{120}+o(t^5)-1/3(t^3-t^5/2+o(t^5))+1/5(t^5+o(t^5))+o(t^5)=t-t^3/2+3/8 t^5+o(t^5)$
dove, nelle varie parentesi, sono andato a prendere solo le potenze che non superassero il quinto grado.
Fare gli sviluppi con le derivate è virtualmente impossibile.
Faccio un esempio banale: supponi di voler sviluppare $\cos\sqrt{x}$. Se cominci a calcolare le derivate, vedrai che compariranno delle radici di $x$ al denominatore, per cui il calcolo di esse in $x=0$ diventa complicato (dovresti calcolare dei limiti). Tuttavia, partendo dallo sviluppo noto $\cos t=1-t^2/2+t^4/{24}+o(t^4)$ si trova facilmente $\cos\sqrt{x}=1-x/2+x^2/{24}+o(x^2)$ e via discorrendo.
$\sin t=t-t^3/6+t^5/120+o(t^5)$ e $\arctan t=t-t^3/3+t^5/5+o(t^5)$.
A questo punto vai a sostituire, ottenendo:
$\arctan(\sin x)=(t-t^3/6+t^5/120+o(t^5))-1/3(t-t^3/6+t^5/120+o(t^5))^3+1/5(t-t^3/6+t^5/120+o(t^5))^5+o(t-t^3/6+t^5/120+o(t^5))=$
e supponendo tu voglia determinare lo sviluppo al quinto ordine,
$=t-t^3/6+t^5/{120}+o(t^5)-1/3(t^3-t^5/2+o(t^5))+1/5(t^5+o(t^5))+o(t^5)=t-t^3/2+3/8 t^5+o(t^5)$
dove, nelle varie parentesi, sono andato a prendere solo le potenze che non superassero il quinto grado.
Fare gli sviluppi con le derivate è virtualmente impossibile.
Faccio un esempio banale: supponi di voler sviluppare $\cos\sqrt{x}$. Se cominci a calcolare le derivate, vedrai che compariranno delle radici di $x$ al denominatore, per cui il calcolo di esse in $x=0$ diventa complicato (dovresti calcolare dei limiti). Tuttavia, partendo dallo sviluppo noto $\cos t=1-t^2/2+t^4/{24}+o(t^4)$ si trova facilmente $\cos\sqrt{x}=1-x/2+x^2/{24}+o(x^2)$ e via discorrendo.
Ah sisi avevo capito il tuo ragionamento.. solo che credevo che sviluppare le derivate non portasse ad errore visto che si applicava solo la definizione del polinomio di Taylor.
Però nel caso io debba svipuppare $log(cosx)$ dovrei scrivere: $log(1 - x^2/2...)$. E ottengo come primo termine $-x^2/2$ sia calcolando le derivate, sia applicando lo sviluppo solito $log(1 + x) = x + ...$ è solo un caso allora ?
Però nel caso io debba svipuppare $log(cosx)$ dovrei scrivere: $log(1 - x^2/2...)$. E ottengo come primo termine $-x^2/2$ sia calcolando le derivate, sia applicando lo sviluppo solito $log(1 + x) = x + ...$ è solo un caso allora ?
No, non è un caso, perché hai applicato la definzione. Quello che ti sto dicendo io è che inultile andare a farsi migliaia di derivate (che magari escono errate) quando puoi usare gli sviluppi noti! Hai capito?
"ciampax":
No, non è un caso, perché hai applicato la definzione. Quello che ti sto dicendo io è che inultile andare a farsi migliaia di derivate (che magari escono errate) quando puoi usare gli sviluppi noti! Hai capito?
sisi ho capito grazie..
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