Limite taylor

[jarrod]

Ciao, sto risolvendo questo esercizio:
$(2*x^(1/2)ln(1+x^(1/2))-2(sin(x))(1+x)^(1/2)+x^(3/2))/(1-cos(x))$

Ho notato subito che si tratta di una forma di indeterminazione $0/0$ quindi facendo al denominatore lo sviluppo asintotico a $1/2 x^2$, ho in seguito sviluppato con taylor al numeratore.
Ho sviluppato in modo da ottenere anche il secondo grado al numeratore, però il mio risultato finale non coincide (che dovrebbe essere $-2/3$

in teoria io ho sviluppato cosi:
$(2x^(1/2)[x^(1/2)-(x/2)+(x^2/3)+o(x^2)]-2x(1+(1/2)x)+x^(3/2))/((1/2)(x^2))$

Secondo voi va bene?

[pilloeffe]

Ciao jarrod,

Il limite proposto è il seguente:

$ lim_{x \to 0} (2 sqrt{x} ln(1+ sqrt{x})-2(sin(x))sqrt{1+x}+x^(3/2))/(1-cos(x)) = -2/3 $

"jarrod":Secondo voi va bene?

Secondo me no, perché è errato lo sviluppo del logaritmo. Poi per quanto riguarda gli $o$ o li trascuri o li metti dappertutto dove vanno messi, sconsiglierei di fare le cose a metà...

$ln(1 + sqrt{x}) = sqrt{x} - x/2 + x^{3/2}/3 + o(x^2) \implies 2 sqrt{x} ln(1 + sqrt{x}) = 2x - x^{3/2} +2/3 x^2 + o(x^{5/2}) $

[jarrod]

eh io ho fatto cosi per evitare che poi il prodotto tra lo sviluppo del logaritmo e $ 2 sqrt{x}$ producesse un o-piccolo maggiore del secondo grado. Quindi ho sviluppato in modo tale che il prodotto tra lo sviluppo del log e $ 2 sqrt{x}$ sia uno sviluppo di secondo grado. Ma quindi è sbagliato usare il mio metodo?

[pilloeffe]

"jarrod":ho fatto cosi per evitare che poi il prodotto tra lo sviluppo del logaritmo e $2sqrt{x} $ producesse un o-piccolo maggiore del secondo grado.

A parte che non capisco quale sarebbe il problema di avere un $o$ maggiore del secondo grado, dato che in ogni caso verrebbe "inglobato" in quello di secondo grado, lo sviluppo in serie del logaritmo deve essere corretto, altrimenti perdi termini che poi non ti consentono di pervenire al risultato corretto del limite, che è proprio ciò che in effetti ti è accaduto. Comunque è possibile risolvere il limite proposto anche trascurando tutti gli $o$:

$ lim_{x \to 0} (2 sqrt{x} ln(1+ sqrt{x})-2(sin(x))sqrt{1+x}+x^(3/2))/(1-cos(x)) = lim_{x \to 0} (2x - x^{3/2} + 2/3 x^2 -2x(1 + x/2)+x^(3/2))/(1/2 x^2) = $
$ = lim_{x \to 0} (2x - x^{3/2} + 2/3 x^2 -2x - x^2+x^(3/2))/(1/2 x^2) = lim_{x \to 0} (- 1/3 x^2)/(1/2 x^2) = - 2/3 $

[jarrod]

ok grazie mille, ho capito tutto