Limite taylor

[domenico-fiamma-8]

lim per x -> 0 : $(x(log(1+2x))^(2) - 4x^(3)) / ( e^((-1/2)*x^(2)) - log(cos(x)) -1)$

L'avrò provato 5-6 volte.. non riesco proprio, già al numeratore mi vengono $-8x^(4)$ e $-4x^(5)$ che secondo me sono errati..

[Antimius]

Ti invito a scrivere i passaggi che hai fatto, almeno capiamo dove sbagli. Stai lasciando gli o-piccoli nell'espressione?
Per il numeratore hai, ad esempio, $(\log(1+2x))^2 = (2x -2x^2 + o(x^2))^2 = 4x^2 -8x^3 + o(x^3)$ (poi non so se serve sviluppare ancora).

[domenico-fiamma-8]

Al numeratore ho : $x ( 2x - (2x)^(2) / (2) + o(x^(2)) ) ^(2) - 4x^(3)$

Quindi $x ( 4x^(2) - 4x^(4) -8x^(3) + o(x^(4))) -4x^(3)$ e dunque $-4x^(5) -8x^(4) +o (x^(4))$

[Antimius]

Sì, ok, ma il $-4x^5$ ad esempio puoi inglobarlo in $o(x^4)$.
E per il denominatore?

[domenico-fiamma-8]

Sviluppo l'esponenziale ;

$1 - 1/2x^(2) - x^(4)/4 + o(x^(4))$

Sviluppo logaritmo :

$cosx - (cosx)^(2) / 2 + o(cosx)^(2)$

Sviluppo il coseno :

$1 - x^(2)/2 + x^(4)/24 + o(x^(4)) - (1 - x^(2)/2 + x^(4)/24 + o(x^(4)))^(2)/2 + o(1 - x^(2)/2 + x^(4)/24 + o(x^(4)))^(2)$

Nei calcoli poi mi trovo un $-1/2$ che non so come togliere

[Antimius]

Devi sviluppare prima il coseno e poi il logaritmo:
$$\log(\cos x) = \log (1-x^2/2 + x^4/24 + o(x^5)) = -x^2/2 + x^4/24 + o(x^5) - \frac{1}{2} (-x^2/2+x^4/24 + o(x^5))^2 = -x^2/2 + x^4/24 - x^4/8 + o(x^4)$$
Per l'esponenziale:
$$e^{-\frac{x^2}{2}} - 1 = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \bigg(-\frac{x^2}{2} \bigg)^2 + o (x^4) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)$$

[domenico-fiamma-8]

Non hai convertito la scrittura. Comunque sbaglio o il logaritmo non bisogna svilupparlo all'inizio perché non è $log(1+x)$? Sarà questo l'errore?

[Antimius]

Sì, esatto, non puoi farlo per quel motivo.

[domenico-fiamma-8]

Mi viene 192 invece deve venire -192/5 ..vabbè

[Antimius]

Per quello si tratta solo di ricontrollare i conti con un po' di pazienza, ma mi pare che il tuo problema iniziale è risolto

[domenico-fiamma-8]

Certo, ti ringrazio ancora per l'aiuto!

[Antimius]

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