Limite svolto da me non corretto, cosa sbaglio

[thunder2410]

Salve,
cosa sbaglio nel seguente procedimento per trovare il limite?

\(\displaystyle lim_{n \to \infty } \left ( \frac{n^2+3}{n^2+1} \right )^{n^2+1} \)

io lo svolgo così ma il risultato non mi torna:

\(\displaystyle \left ( \frac{n^2+3}{n^2+1} \right )^{n^2+1} = \left ( \frac{n^2+3}{n^2+1} \right )^{n^2}*\left ( \frac{n^2+3}{n^2+1} \right )^{1} = \left ( \frac{n^2}{n^2+1} +\frac{3}{n^2+1}\right )^{n^2} * \left ( \frac{n^2}{n^2+1} +\frac{3}{n^2+1}\right ) \sim \left ( \frac{n^2}{n^2} \right )^{n^2}*\left ( \frac{n^2}{n^2} \right ) \overset{+\infty}{\rightarrow} \left ( 1 + 0\right )^{+\infty} * \left ( 1+0 \right ) = 1 \)

Potreste dirmi il passaggio in cui sbaglio?

Grazie

[Mephlip]

$1^{\infty}$ è una forma indeterminata, non puoi concludere nulla da essa.

[thunder2410]

ok, grazie. Mi sapreste dire allora come si risolve correttamente?

[Camillo]

Conviene metterlo sotto questa forma $((n^2+3)/(n^2+1))^(n^2+1)=((n^2+1)/(n^2+1)+2/(n^2+1))^(n^2+1)=(1+2/(n^2+1))^(n^2+1) $ e adesso rientra in un limite notevole , il risultato del limite dovrebbe essere $e^2 $

[thunder2410]

Grazie Camillo, il limite notevole però è nella forma \(\displaystyle lim_{n \to \infty } \left ( 1 + \frac{1}{n^2+1} \right )^{n^2+1} \). Come mi libero del 2 al numeratore?

[axpgn]

$lim_(n->infty) (1+2/(n^2+1))^(n^2+1)$

$lim_(n->infty) (1+1/((n^2+1)/2))^(n^2+1)$

$lim_(n->infty) (1+1/((n^2+1)/2))^[(n^2+1)/2*2]$

$lim_(n->infty) [(1+1/((n^2+1)/2))^((n^2+1)/2)]^2$

[Mephlip]

In realtà c'è il più generale limite notevole
$$\lim_{n\to+\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}$$
Che vale anche con denominatore ed esponente $n^2+1$ tramite la sostituzione $m=n^2+1$.

[thunder2410]

Grazie mille a tutti per avermi aiutato!