Limite successioni.
Sono con il cellulare ho difficoltà a scrivere le formule, chiedo scusa.
Ho il limite di una successione dove $ninR$ $\lim_{n\to\infty}sen(sqrt(n+1))-sen(sqrt(n))$ che mi dice che va a 0, ma non capisco come dimostrarlo
Ho il limite di una successione dove $ninR$ $\lim_{n\to\infty}sen(sqrt(n+1))-sen(sqrt(n))$ che mi dice che va a 0, ma non capisco come dimostrarlo
Risposte
Prova a partire da qui $\sin(\sqrt{n}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}}) -\sin(\sqrt{n})$
$|sin(sqrt(x+1))-sin(sqrt(x))|leq|sqrt(x+1)-sqrt(x)|$
Formule di prostaferesi. 
È un bell’esempio per utilizzare la Lipschitzianità del seno 
Volevo provare con le formule di prostaferesi , però mi ritrovo un coseno che moltiplica un seno e non so come potrei svilupparlo
"anto_zoolander":$|sin(sqrt(x+1))-sin(sqrt(x))|leq|sqrt(x+1)-sqrt(x)|$
La maggioro con quella?
Deriva dalla Lipschitzianità della funzione seno, puoi usare questa maggiorazione
Mentre con le formule di prostaferesi avresti un consiglio dopo aver applicato banalmente la formula?
Beh, scusa, hai:
\[
\sin \sqrt{n+1} - \sin \sqrt{n} = 2 \cos \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2}\ \sin \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{2}\; ,
\]
col primo fattore limitato ed il secondo infinitesimo, dunque...
\[
\sin \sqrt{n+1} - \sin \sqrt{n} = 2 \cos \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2}\ \sin \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{2}\; ,
\]
col primo fattore limitato ed il secondo infinitesimo, dunque...
il secondo è infinitesimo perche ho n e -n?
Quindi fa 0
Quindi fa 0
"vivi96":
il secondo è infinitesimo perche ho n e -n?
Il secondo è infinitesimo perchè il seno è una funzione continua e appena faccio il calcolo del limite del suo argomento mi accorgo che il limite è $0$.
"vivi96":
Quindi fa 0
Certo.
Ciao vivi96,
Per convincerti che il secondo fattore tende a $0$, puoi osservare che si ha:
$ sin frac{sqrt{n+1} - sqrt{n}}{2} = sin frac{(sqrt{n+1} - sqrt{n})(sqrt{n+1} + sqrt{n})}{2(sqrt{n+1} + sqrt{n})} = sin frac{n+1 - n}{2(sqrt{n+1} + sqrt{n})} = $
$ = sin frac{1}{2(sqrt{n+1} + sqrt{n})} $
e l'ultimo termine scritto tende a $0$ per $n \to +\infty $
Per convincerti che il secondo fattore tende a $0$, puoi osservare che si ha:
$ sin frac{sqrt{n+1} - sqrt{n}}{2} = sin frac{(sqrt{n+1} - sqrt{n})(sqrt{n+1} + sqrt{n})}{2(sqrt{n+1} + sqrt{n})} = sin frac{n+1 - n}{2(sqrt{n+1} + sqrt{n})} = $
$ = sin frac{1}{2(sqrt{n+1} + sqrt{n})} $
e l'ultimo termine scritto tende a $0$ per $n \to +\infty $
Non so se è sensato il mio ragionamento (mi scuso nel caso fosse sbagliato), ma ho pensato che si potrebbe fare
$$\lim_{n\to\infty}\sin\sqrt{n+1}-\sin\sqrt{n}\sim \lim_{n\to\infty}\sin\sqrt{n}-\sin\sqrt{n}=0$$
Poiché per $n\to\infty$, $1$ è trascurabile rispetto a $n$.
$$\lim_{n\to\infty}\sin\sqrt{n+1}-\sin\sqrt{n}\sim \lim_{n\to\infty}\sin\sqrt{n}-\sin\sqrt{n}=0$$
Poiché per $n\to\infty$, $1$ è trascurabile rispetto a $n$.
"Datolo":
Non so se è sensato il mio ragionamento (mi scuso nel caso fosse sbagliato), ma ho pensato che si potrebbe fare
$$\lim_{n\to\infty}\sin\sqrt{n+1}-\sin\sqrt{n}\sim \lim_{n\to\infty}\sin\sqrt{n}-\sin\sqrt{n}=0$$
Poiché per $n\to\infty$, $1$ è trascurabile rispetto a $n$.
In questo caso hai ottenuto un risultato corretto. Adesso applichiamo lo stesso ragionamento al calcolo del limite
\[
\lim_{n\to \infty} (n+1)^2- n^2.\]
Siccome \((n+1)^2\sim n^2\),
\[
\lim_{n\to\infty} (n+1)^2-n^2=\lim_{n\to \infty} n^2 - n^2 = 0. \]
Giusto?
Eppure, cavolo! Se sviluppiamo il quadrato, abbiamo che
\[
(n+1)^2-n^2= n^2+2n+1 -n^2 = 2n+1 \to +\infty !!!\]
Cosa è andato storto?
Nel limite $\lim_{n\to \infty} (n+1)^2- n^2$ avrei svolto il quadrato di binomio, non avrei pensato a $(n+1)^2$ $\sim$ $n^2$
Però effettivamente è lo stesso ragionamento che ho fatto nell'altro limite. Come mai in questo caso non vale? O è una coincidenza che venga uguale nell'altro esercizio?
Però effettivamente è lo stesso ragionamento che ho fatto nell'altro limite. Come mai in questo caso non vale? O è una coincidenza che venga uguale nell'altro esercizio?
"Datolo":
Nel limite $\lim_{n\to \infty} (n+1)^2- n^2$ avrei svolto il quadrato di binomio, non avrei pensato a $(n+1)^2$ $\sim$ $n^2$
Però effettivamente è lo stesso ragionamento che ho fatto nell'altro limite. Come mai in questo caso non vale? O è una coincidenza che venga uguale nell'altro esercizio?
Semplicemente, \(\sim\) si può usare in scioltezza in presenza di prodotti e rapporti, ma può fare brutti scherzi con somme e differenze.
Nel caso in esame, si potrebbe ragionare così.
Abbiamo:
\[
(n + 1)^2 - n^2 = n^2\ \underbrace{\left[ \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^2 - 1\right]}_{\sim 2/n} \sim 2n \to +\infty
\]
ritrovando il risultato corretto.
"gugo82":Ottima sintesi. Di questo si è parlato in un altro topic proprio ieri:
Semplicemente, ∼ si può usare in scioltezza in presenza di prodotti e rapporti, ma fa brutti scherzi con somme e differenze.
viewtopic.php?p=8347944#p8347944
Capito, grazie!
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