Limite successione per ricorrenza

[nick_10]

Consideriamo la successione per ricorrenza $x_(n+1)=(x_n+n)/(n^2+1)$ con $x_1>0$
Determinare i limiti delle successioni $x_n$ e $nx_n$
Il primo limite l'ho calcolato dimostrando che la successione è limitata e risulta essere 0;
il problema è per la seconda successione. Ho provato con il criterio del rapporto ma non porta a nessuna conclusione dato che il rapporto tende a 1.
Avevo pensato anche di porre $y_n=nx_n$ e studiare questa successione che tramite la ricorrenza diventa
$y_(n+1)=(n+1)x_(n+1)=(n+1)(x_n+n)/(n^2+1)$ che dopo qualche passaggio diventa $y_(n+1)=(ny_n+n^3+y_n+n^2)/(n^3+n)$
Magari ho peggiorato la situazione...ma mi verrebbe da dire che questa tende a 1.
Grazie in anticipo!!

[anto_zoolander]

Qual è il primo termine? Cioè ci sarà un certo $x_0=k$ no?

[nick_10]

No. Il primo termine è un $x_1$ maggiore di zero

[Studente Anonimo]

Dopo aver calcolato il primo limite, si può procedere sviluppando in serie:

$[lim_(n->+oo)x_n=0] ^^ [x_(n+1)=(x_n+n)/(n^2+1)=(x_n+n)/(n^2(1+1/n^2))] rarr$

$rarr [x_(n+1)=(x_n+n)/n^2(1-1/n^2+o(1/n^2))=x_n/n^2+1/n-x_n/n^4-1/n^3+x_no(1/n^4)+o(1/n^3)] rarr$

$rarr [x_(n+1)=1/n+o(1/n)] rarr$

$rarr [x_n=1/(n-1)+o(1/(n-1))] rarr$

$rarr [nx_n=n(1/(n-1)+o(1/(n-1)))=n/(n-1)+o(n/(n-1))] rarr$

$rarr [lim_(n->+oo)nx_n=lim_(n->+oo)n/(n-1)+o(n/(n-1))=1]$

[nick_10]

Graziee!
Avevo anche pensato ad una cosa del genere
Riprendendo la scrittura di $y_(n+1)$ posso scriverla come $(nx_n)/(n^2+1)+(x_n)/(n^2+1)+(n+n^2)/(n^2+1)$
Ora i primi due tendono a zero e l'ultimo pezzo tende a 1. Potrebbe andare ugualmente?

[Studente Anonimo]

Senza ombra di dubbio. Insomma, un bell'uovo di Colombo!

[nick_10]

Grazie