Limite successione limitata x una divergente.

[Dino 921]

Salve, la mia è una domanda di teoria:
Come il limite di una successione limitata per una infinitesima converge a 0, è altrettanto vero che il limite di una successione limitata (non per forza regolare) per una divergente è uguale a $ pm oo $ ?
Vi ringrazio, augurandovi un felice anno nuovo.

[MrMeaccia]

Credo proprio di si!
Sia $a_n -> +oo$ e $b_n -> b , b in RR$ allora $a_n*b_n -> +- oo $ a seconda che b sia >0 o <0

[Dino 921]

mmm..però così si trascura il caso in cui la successione sia limitata e irregolare.
Ad esempio, considerando il seguente limite:

$ lim_(n -> +oo)(-1)^n * n $

abbiamo che $(-1)^n$ è limitata ma non regolare, mentre $n$ è divergente.
tuttavia credo che tale limite non esista, visto che può essere $+oo$ o $-oo$ a seconda che n sia pari o dispari..
quindi dedurrei che non sempre il limite di una successione limitata per una divergente sia $pm oo$

[dissonance]

@Dino: Esatto. La tua congettura

Come il limite di una successione limitata per una infinitesima converge a 0, è altrettanto vero che il limite di una successione limitata (non per forza regolare) per una divergente è uguale a ±∞ ?

è falsa. Hai già trovato un controesempio e ne aggiungiamo un altro:

\[a_n=n, b_n=e^{-n};\]
in questo caso \(a_n \to +\infty, b_n\to 0\) e \(a_nb_n\to 0\). Nella pratica, in questi casi devi vedere cosa succede volta per volta.

@MrMeaccia: Devi richiedere \(b\ne 0\) altrimenti la tua proposizione è falsa.

[Dino 921]

D'accordo, grazie ad entrambi e buon anno a tutti.

[MrMeaccia]

@dissonance: Grazie per l'appunto!
@Dino: Grazie a te!