Limite successione elevato alla n
Ciao a tutti, mi sto imbattendo in diversi esercizi di questa modalità. Abbiamo la somma di 3 elementi elevati alla n.
Ad esempio:
(n^(n+2) - n^27 - 3n^(n+1))^n
Non capisco in che modo lo devo affrontare. Se raccolgo l'infinito piu grande (in questo caso n^(n+2)) n^27 tende a 0 mentre l'ultimo elemento no? Poi utilizzerei il limite notevole di e.
Come posso fare?
Ad esempio:
(n^(n+2) - n^27 - 3n^(n+1))^n
Non capisco in che modo lo devo affrontare. Se raccolgo l'infinito piu grande (in questo caso n^(n+2)) n^27 tende a 0 mentre l'ultimo elemento no? Poi utilizzerei il limite notevole di e.
Come posso fare?
Risposte
Raccogliendo puoi scrivere
$$n^{n(n+2)}\left(1-\frac{n^{27}+3n^{n+1}}{n^{n+2}}\right)^n=n^{n(n+2)}\left(1+\frac{1}{-\frac{n^{n+2}}{n^{27}+3n^{n+1}}}\right)^n$$
Da qui come puoi procedere?
$$n^{n(n+2)}\left(1-\frac{n^{27}+3n^{n+1}}{n^{n+2}}\right)^n=n^{n(n+2)}\left(1+\frac{1}{-\frac{n^{n+2}}{n^{27}+3n^{n+1}}}\right)^n$$
Da qui come puoi procedere?
Se non erro si riconduce al limite di e. Moltiplicando e dividendo l'esponente per il denominatore giusto? Diventerebbe e elevato all'inverso del denominatore per n.
Il problema è che l'esponente di e mi viene
$n^(-n-1) (-n^27 - 3n^(n+1))$
ovvero
$e^(-n^(36-n)-3)$
Dovrebbe rimanere solo il 3 (senza il meno) essendo la soluzione e^3
ed ora??
Il problema è che l'esponente di e mi viene
$n^(-n-1) (-n^27 - 3n^(n+1))$
ovvero
$e^(-n^(36-n)-3)$
Dovrebbe rimanere solo il 3 (senza il meno) essendo la soluzione e^3
ed ora??
E del termine $n^{n+2}$ cosa ne vogliamo fare????
Hai ragione non avevo scritto che il tutto è diviso per $n^(n+2)$ quindi era ininfluente
Dici? A me non pare. Devi per rpima cosa moltiplicare per $n^{n(n+2)}$ che potresti scrivere anche come $e^{n(n+2)\log(n)}$
No scusa ci siamo fraintesti, il termine $n^(n(n+2))$ è diviso anche sotto e quindi posso semplificare. Il termine che dici tu mi pare di averlo incluso nel calcolo e che nel finale venga $e^(n^(-1-n)(-n^27-3n^(n+1))$
Allora abbiamo detto che
$$n^{n(n+2)}\left(1-\frac{n^{27}+3n^{n+1}}{n^{n+2}}\right)^n=n^{n(n+2)}\left(1+\frac{1}{-\frac{n^{n+2}}{n^{27}+3n^{n+1}}}\right)^n$$
Ora usando il limite notevole, la roba tra parentesi diventa
$$n^{n(n+2)}\exp\left[n\cdot\left(-\frac{n^{27}+3n^{n+1}}{n^{n+2}}\right)\right]$$
(exp sta per esponenziale). Quindi possiamo scrivere il tutto come
$$\exp\left[n(n+2)\log(n)-\frac{n^{27}+3n^{n+1}}{n^{n+1}}\right]$$
Si tratta di calcolare il limite tra parentesi. Direi che si può scrivere per prima cosa
$$n(n+2)\log(n)-\frac{n^{27}}{n^{n+1}}-3=n(n+2)\log(n)-n^{26-n}-3$$
e a d cocchio io direi che sta roba ha limite infinito.
Per cui mi sorge il dubbio che tu abbia scritto correttamente la traccia. La successione è la seguente?
$$(n^{n+2}-n^{27}-3n^{n+1})^n$$
$$n^{n(n+2)}\left(1-\frac{n^{27}+3n^{n+1}}{n^{n+2}}\right)^n=n^{n(n+2)}\left(1+\frac{1}{-\frac{n^{n+2}}{n^{27}+3n^{n+1}}}\right)^n$$
Ora usando il limite notevole, la roba tra parentesi diventa
$$n^{n(n+2)}\exp\left[n\cdot\left(-\frac{n^{27}+3n^{n+1}}{n^{n+2}}\right)\right]$$
(exp sta per esponenziale). Quindi possiamo scrivere il tutto come
$$\exp\left[n(n+2)\log(n)-\frac{n^{27}+3n^{n+1}}{n^{n+1}}\right]$$
Si tratta di calcolare il limite tra parentesi. Direi che si può scrivere per prima cosa
$$n(n+2)\log(n)-\frac{n^{27}}{n^{n+1}}-3=n(n+2)\log(n)-n^{26-n}-3$$
e a d cocchio io direi che sta roba ha limite infinito.
Per cui mi sorge il dubbio che tu abbia scritto correttamente la traccia. La successione è la seguente?
$$(n^{n+2}-n^{27}-3n^{n+1})^n$$
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